Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение и способы задания функции нескольких переменных




 

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины Z, то Z есть функция двух независимых переменных от x и y определенная в области D, символически: Z = f (x,y)

 

Функции двух переменных, как и функции одной переменной, могут быть заданы таблицей, аналитически (формулой) и графиком.

Табличное задание состоит в том, что для некоторого количества пар значений независимых переменных указывается соответствующее им значение функции. Например, можно составить таблицу для площади прямоугольника

S= X Y

Y\X 1,5 2,5
1,5 2,5

 

Аналитическое задание функций означает, что дается формула, при помощи которой по данным значениям независимых переменных отыскивается значение функций

Z= 3x2+5y-2; ит.д.

Как и в случае одного независимого переменного, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях x и y.

 

Определение. Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых функция Z =f(x,y) определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

 

Область определения наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и y мы будем изображать точкой M(x,y)плоскости Oxy, то область определения функции изобразится в виде совокупности точек на плоскости. В частности, область определения может быть и вся плоскость.

Пример. Найти область определения функции

 

  Ограничению (1) соответствует область вне круга с центром в точке (2;0) и радиусом R=2; ограничению (2) круг с центром в начале координат и радиусом R=4; их пересечение дает область, изображенную на рисунке.  

Графическое задание функции двух переменных состоит в задании графика этой функции.

Рассмотрим функцию Z =f(x,y), определенную в области D плоскости Oxyz. В каждой точке (x,y) восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy и на нем отложим отрезок, равный Z =f(x,y). Получим в пространстве точку P с координатами x,y,z.

Геометрическое место точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению Z = f (x,y), есть поверхность, которая и является графиком функции двух переменных.

Эта поверхность проектируется на плоскость Oxy в область определения функции.

Примеры. 1. Ax+By+Cz+D=0 – плоскость в частности 2x+3y+z-C=0 плоскость, отсекающая на координатных осях Ox, Oy, Oz отрезки 3,2,6

 

Эллипсоид с полуосями a=6; b=3 c=6  

 

  - cоответственно, эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

 

Определение:Величина U называется функцией переменных величин x,y,z,…t, если каждой рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно или несколько определенных значений величины U.

 

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех четырех и более переменных. Функцию трех и более переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно.

Запись F(x,y,z,…t,u)=0 означает в общем виде наличие функциональной связи между величинами x,y,z,…t,

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 2012. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия