Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Геометрические приложения двойного интеграла




 

Пример 1Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y2=10x+25, y2=-6x+9

Известно, что площадь плоской области D XOY вычисляется по формуле Построим область D. Парабола y2=10(x+2,5) имеет величину в точке с координатами (-2,5;0). Ее ветви симметричны относительно оси Ox и направлена вправо.

Парабола y2=-6(x-1,5) имеет вершину в точке с координатами (1,5; 0). Ветви этой параболы симметричны относительно оси Ox и направлена влево. Решая систему уравнений, получим точки пересечения парабол:

Итак, область D можно представить в виде систем неравенств:

Таким образом, вычисляем площадь области Д

 

Пример 2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

(x2+ y2) 2= 2a2 (x2-y2), y2+x2=a2 (x2+ y2≥ a2)

Перейдем к полярным координатам a=ρ cosα , y=ρsinα

Получим уравнения границы области в виде ρ=a (лемниската Бернулли) и ρ=a (окружность) при условии ρ≥a

Надо найти площадь плоской фигуры, ограниченной частью лемнискаты Бернулли ρ=a и частью окружности ρ=a летящей вне этой окружности. Найдем точки пересечения лемнискаты и окружности, решив систему уравнений:

 

⟹ 1=

Точка (a; π/6) является одной из четырех точек пересечения лемнискаты с окружностью. В силу симметрии области, искомая площадь равна четверти площади области, определяемой неравенствами:

Следовательно, площадь области можно найти по формуле:

 

Пример 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями,

x2+ y2 = R2 ; (x2+z2) = R2, (x≥0; y≥0; z≥0)

Объем V цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x;y) снизу плоскостью z=0 и боков – замкнутой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz , вырезающей на плоскости Oxy область D, выражается интегралом: V=

Строим поверхности, ограничивающие тела: x2+ y2 = R2- круговой цилиндр у которого ось OZ является осью симметрии x2+ я2 = R2 – круговой цилиндр, у которого ось Oy является осью симметрии. На рисунке изображена часть этих цилиндров

 

Расположенные в первом октанте; область D является четвертью круга. Сверху тело ограничено x2+ y2 = R2 z≥0 поверхностью, откуда находим Следовательно, подынтегральная функция имеет вид f(x;y)= Вычисли объем тела:

V=

Задачи для самостоятельного решения:

Изменить порядок интегрирования:

1.

2. 3.

4.

Вычислить двойные интегралы

5. D – область, ограниченная линиями xy=1, y= x=2

6. D– область, ограниченная линиями xy=4, x+y=5

7. D– область, ограниченная линиями y=ex, x =0, y=2

Используя полярные координаты. Найти площадь фигур, ограниченных линиями.

8. x2+y2=2ax, x2+y2=2bx, y=x, y=0 (0<a<b)

9. (x2+y2)2= 2a2xy (a>0) Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

10. z=0, y=x, x=0

11. Z = 2-x-y, z=0, x2+y2=1, x=0, x=0, y=0

12. Z= x2+y2, z=0, y2=x, x=1

 

10.4. Криволинейный интеграл второго типа:

Пусть функции P(x,y), Q(x,y) являются непрерывными вдоль дуги L, расположенной в плоскости XOY. Разобьем дугу L на участков в каждом таком участке выберем по произвольной точкеAkk; ηk). Обозначим проекции k- го участка на оси координат через Δxk,Δ yk и составим сумму

Эта сумма называется n–ой интегральной суммой по линии L, а ее предел при стремлении к нулю длины наибольшего частичного участка разбиения кривой L, называется криволинейным интегралом второго типа по дуге L.

Дуга L называется линией или контуром интегрирования

В частности, если Q(x;y)=0 то криволинейный интеграл имеет вид и называется криволинейным интегралом по координате x Если P(x;y)=0 то называется криволинейным интегралом по координате y.

Определение криволинейного интеграла остается в силе и в том случае, когда кривая L замкнута. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру часто употребляется символ:

с обязательным указанием направления обхода. В случаях, когда криволинейных интеграл от векторной функции f{P;Q} берется по замкнутой кривой, то этот криволинейный интеграл называется циркулярным вектора F по замкнутому контуру L







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 1675. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия