Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Гамма-распределение и распределение Эрланга




Неотрицательная случайная величина имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой

, , (5)

где и , – гамма-функция:

. (6)

Таким образом, гамма-распределение является двухпараметрическим распределением, оно занимает важное место в математической статистике и теории надежности. Это распределение имеет ограничение с одной стороны .

Если параметр формы кривой распределения – целое число, то гамма-распределение описывает время, необходимое для появления событий (отказов), при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью .

В большинстве случаев это распределение описывает наработку системы с резервированием отказов стареющих элементов, время восстановления системы с резервированием отказов стареющих элементов, время восстановления системы и т. д. При различных количественных значениях параметров гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенством, если

и : , (7)

где . (8)

Функция распределения . (9)

 

Заметим, что функция надежности выражается формулой:

. (10)

Гамма-функция обладает свойствами: , , (11)

откуда следует, что если – целое неотрицательное число, то

. (12)

Кроме того, нам в последующем потребуется еще одно свойство гамма-функции: ; . (13)

Пример. Восстановление радиоэлектронной аппаратуры подчиняется закону гамма-распределения с параметрами и . Определить вероятность восстановления аппаратуры за час.

Решение. Для определения вероятности восстановления воспользуемся формулой (9) .

Для целых положительных значений функции , а при .

Если перейти к новым переменным, значения которых будут выражены ; , то получим табличный интеграл:

.

В этом выражении решение интеграла в правой части можно определить по той же формуле:

,


а при будет

.

При и новые переменные будут равны и , а сам интеграл будет равен

.

Значение функции будет равно

.

Ответ: .

Найдем числовые характеристики случайной величины , подчиненной гамма-распределению

.

В соответствии с равенством (13) получим . (14)

Второй начальный момент найдем по формуле

,

откуда . (15)

Заметим, что при интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия. При интенсивность отказов возрастает, что характеризует период изнашивания и старения элементов.

При гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга -го порядка:

, . (16)

Здесь достаточно лишь указать, что закону Эрланга -го порядка подчинена сумма независимых случайных величин , каждая из которых распределена по показательному закону с параметром . Закон Эрланга -го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским (простейшим) потоком с интенсивностью .

Действительно, пусть имеется такой поток событий во времени (рис. 6).

 

 

Рис. 6. Графическое представление пуассоновского потока событий во времени

 

Рассмотрим интервал времени , состоящий из суммы интервалов между событиями в таком потоке. Можно доказать, что случайная величина будет подчинена закону Эрланга -го порядка.

Плотность распределения случайной величины , распределенной по закону Эрланга -го порядка, может быть выражена через табличную функцию распределения Пуассона:

, , (17)

где .

Если значение кратно и , то гамма-распределение совпадает с распределением хи-квадрат .

Заметим, что функцию распределения случайной величины можно вычислить по следующей формуле:

, (18)

где определяются выражениями (12) и (13).

Следовательно, имеют место равенства, которые нам в дальнейшем пригодятся:

; . (19)

Пример. Поток производимых на конвейере изделий является простейшим с параметром . Все производимые изделия контролируются, бракованные укладываются в специальный ящик, в котором помещается не более изделий, вероятность брака равна . Определить закон распределения времени заполнения ящика бракованными изделиями и величину , исходя из того, чтобы ящик с вероятностью не переполнялся в течение смены.

Решение. Интенсивность простейшего потока бракованных изделий будет . Очевидно, что время заполнения ящика бракованными изделиями распределено по закону Эрланга


с параметрами и :

,

следовательно (18) и (19): ; .

Число бракованных изделий за время будет распределено по закону Пуассона с параметром . Следовательно, искомое число нужно находить из условия . (20)

Например, при [изделие/ч]; ; [ч]

из уравнения при

.

Случайная величина, имеющая распределение Эрланга, обладает следующими числовыми характеристиками (табл. 6).

Таблица 6

Плотность вероятности , , где – параметр масштаба ; – параметр формы, порядок распределения, целое положительное число
Функция распределения
Характеристическая функция
Математическое ожидание
Мода
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
Начальные моменты , , ,
Центральные моменты ,

 

Заметим, что случайная величина, имеющая нормированное распределение Эрланга -го порядка, обладает следующими числовыми характеристиками (табл. 7).

Таблица 7

Плотность вероятности , , где – параметр масштаба ; – параметр формы, порядок распределения, целое положительное число
Функция распределения
Характеристическая функция
Математическое ожидание
Мода
Дисперсия
Коэффициент вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные моменты , , ,
Центральные моменты ,

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 3195. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия