Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Главные оси и главные моменты инерции. Моменты инерции тел простой геометрической формы. Теорема Гюйгенса - Штейнера




ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сече­ния при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v.

u = y sin  + x cos ; v = y cos   x sin  . (3.10)

Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11)

Складывая первые два уравнения, получим: Iu + Iv = Ix + Iy = I, (3.12)

где ; I  полярный момент инерции сечения, величи­на которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по  и приравнивая его нулю, находим значение  = 0 , при котором функция Iu прини­мает экстремальное значение: . (3.13)

С учетом (3.12) можно утверждать, что при  = 0 один из осе­вых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при  = 0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые мо­менты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют в . (3.14)

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x иyix и iy , соответственно, которые определяются по формулам: . (3.15)

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛ ПРОСТОЙГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

1.Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):I = mR2

 

2. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:I = (1/4)mR2.

 

 

3. Момент инерции полого цилиндра относительно оси симметрии:I = (1/2)m(R12 + R22)где R1 − внутренний и R2 − внешний радиусы.


4. . Момент инерции сплошного цилиндра: I=(1/2)mR2

 

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:I = (1/12)ml2,где l − длина стержня.


6. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:I = (2/5)mR2.

7. Момент инерции тонкого шарового слоя: I=(2/3)mR2

8. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:I = m(R2/4 + h2/12)где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.

ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Ic относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

I = Ic + ma2

где

Ic — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

I — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

a — расстояние между указанными осями.







Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 2070. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия