Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

УПРАЖНЕНИЯ




1. Даны числа 19; ; 0; – 27; 5.4; . Какие из них принадлежат множеству:


а) целых чисел;

б) целых неотрицательных чисел;

в) рациональных чисел;

г) действительных чисел?


2. Покажите на координатной прямой множество точек, координаты которых: а) меньше 4; б) больше 4; в) не больше 4; г) не меньше 4.

3. Изобразите на координатной прямой множество Х, если:

а) Х = {х/х ÎR и – 2 ≤ х < 7}; б) Х {х/х ÎR и – 2 ≤ х ≤ 7};

в) Х ={х/х ÎR и х < 7}; г) Х = {х/х ÎR и х ≥ – 2}.

4. Задайте числовое множество описанием характеристического свойства элементов:


а) (3;8);

б) (– ¥;7];


в) (– ¥; -3];

г) [– 5,2; 0];

д)[– 8; +¥);


е) (2,7; +¥);

ж) [0; 7,8);

з) (–4; 8].


5. Задайте двумя способами множества точек координатной прямой (рис. 6)

а)

6

б)

3,2 7

 

в)

– 3,7

 

г)

– 4 2,4

д)

– 8,2 – 4,3

е)

18

ж)

21

з)

– 3 0


 

Рис. 6

 

6. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные:


а) 3Î(3;12];

б) – 0,2 Î[– 0,3; 0];

в) 0Î(– ¥; 0];

г) 5Î(6; +¥);

д) 75ÎQ;

е) 6,4ÎZ;

ж) – 7ÎN;

з) – 0,3ÎZ.


7. Постройте прямую и отметьте на ней начало отсчета, единичный отрезок, точку А(5) и все точки, расстояние каждой из которых от точки А: а) равно 2; б) не больше 2; в) больше 2.

8. Отметьте на координатной прямой точку В(2) и укажите характеристическое свойство множества точек, изображенных на рис. 7

Рис. 7

9. Решите уравнения, используя понятие расстояния между двумя точками на координатной прямой:


а) |х| = 3;

б) |7 – а| = 4;

в) |х – 4| = 3;

г) |р| = – 2;

д) |х| + 1 = 4;

е) 7 + |у| = 1.


10. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства:


а) |х| ≤ 3;

б) |х| > 4;

в) |х + 3| ≤ 1;

г) |х – 4| ≥ 2.


Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывания из задач 11 – 20:

11. а) некоторые натуральные четные числа кратны 11;
б) все числа, делящиеся на 10, делятся и на 5.

12. а) ни один параллелограмм не является трапецией;
б) любой квадрат есть прямоугольник.

13. а) каждое из чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, делится на 5;

б) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 3, не делится на 6.

14. а) все квадраты являются четырехугольниками;

б) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными.

15. а) все мальчики 5 «а» класса участвовали в туристическом походе;

б) ни один мальчик 5 «а» не является неуспевающим учеником.

16. а) все равносторонние треугольники – равнобедренные;

б) некоторые ромбы являются прямоугольниками.

17. а) любой квадрат есть ромб;

б) некоторые трапеции являются четырехугольниками с прямым углом.

18. а) все девочки в классе сидят за первыми партами;

б) некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9.

19. а) ни один мальчик не сидит за первой партой;

б) некоторые числа, запись которых оканчивается цифрой 5, де­лятся на 3;

20. а) все мальчики в классе занимаются в кружке по рисованию;

б) некоторые двузначные натуральные числа являются четными.

21. Перечислите элементы следующих множеств, задайте множества с помощью характеристического свойства:

а) А – множество натуральных чисел, меньших 7;

б) В – множество натуральных чисел, кратных числу 3 и меньших 20;

в) С – множество натуральных делителей числа 26;

г) Д – множество чисел, абсолютная величина которых равна 5.

22. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из
множеств:


а) А = {х/х Î N, хг= 16};

в) С = {х/х Î Z, |х| < 4};

б) В = {х/х Î N, х2< 9};

г)Д= {х/х Î Z, х< 9}.


23. Изобразите на числовой прямой следующие множества:

а) А = {х/х Î R, х<9};

б) В={х/х Î R, х>4}.

Изобразить множества с помощью кругов Эйлера. Определить отношения между множествами.

24. А = {х/х Î N ,х 10}, В = {х/хÎ Z, х 2}, С= {х/х Î Z, х 5}.

25. А = {х/х Î N, х 4}, В = {х/х Î N, х 12}, С = {х/х Î N, х 2}.

26. A = {х/х Î N, х 4}, B = {х/х Î N, х 12}, С = {х/х Î Z, х 2}.

27. A = {х/х Î R , 5 < х < 10}, B = {х/х Î Z, 5 < х < 28}, С={х/х Î Z, x < 20}

28. A = {х/х Î R , х < 2}, B = {х/хÎ Z, х < 2}, С= {х/х Î Z,- 2 < х < 1}.

29. A = {х/х ÎZ , х 9}, B = {х/хÎ N, х 9}, С= {х/хÎ N, х 27}.

30. А= {х/х Î Z , х 9}, B = {х/х Î N, х 9}, С = {х/х Î Z, х 27}.

31. А = {х/х Î Z, х 6}, B = {х/хÎ N, х 6}, С = {х/х Î Z, х 2 и х 3}.

32. А = {х/х Î Z и – 2 < х < 8}, В= {х/х Î Z и – 1,5 < х < 7}, С = {х/х Î R и х < 10}.

33. А = {х/х Î Z и х < 7}, В = {х/х Î Z и – 1 < х < 8}, С = {х/х Î R и х < 10}.

34. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:

а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5;

б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество остроугольных треугольников;

в) А – множество треугольников с углом 45°, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;

г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60°.

35. Установите, в каком отношении находятся множества В и D, если:


а) В = [3; 5], D = [4; 6];

б) В = (7; ), D = [8; 12);

в) В = ( ;0], D = [0, 7];

г) В = (–5;–1), D = (–1, 6).


36. В каком случае множества С и D пересекаются:

а) С – множество четных однозначных чисел,

D – множество нечетных однозначных чисел;

б) С – множество четных однозначных чисел,

D – множество чисел, кратных 3;

в) С – множество прямоугольных треугольников,

D – множество равнобедренных треугольников;

г) С – множество прямоугольников с равными сторонами,

D – множество квадратов?

37. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества Р и Q, если Р – множество равнобедренных треугольников, а Q есть множество: а) остроугольных треугольников; б) прямоугольных треугольников; в) равносторонних треугольников.

38. Дано множество С = {213, 45, 324, 732, 136}. Составьте подмножество множества С, состоящее из чисел, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) не делятся на 4; г) делятся на 5.

39. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В Ì А и С Ì В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера.

40. Дано множество М = {к, l, m}. Образуйте все его: а) одноэлементные подмножества; б) двухэлементные подмножества; в) трехэлементные подмножества. Присоедините к полученным подмножествам пустое множество. Сколько всего подмножеств получили?

41. А – множество натуральных чисел, меньших 20; В, С, D и Е – подмножества множества А, такие, что В состоит из чисел, кратных 6, С – из чисел, кратных 2, D – из чисел, кратных 3, Е – из чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Перечислите элементы множеств А, В, С, D и Е и укажите среди них равные множества.

42. М – множество натуральных решений неравенства 2 ≤ х < 7, K – множество натуральных решений неравенства 1 < х ≤ 6. Какие из следующих высказываний истинны: а) М Ì К; б) К Ì М; в) М = K?

43. Докажите, что А = В, если: а) А – множество двузначных чисел, кратных 9, В – множество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9; б) A – множество натуральных чисел, запись которых оканчивается нулем, В – множество натуральных чисел, кратных 10.

44. А – множество двузначных чисел; В – множество четных натуральных чисел; С – множество натуральных чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунке 8, изображены данные множества? Приведите примеры множеств А, В и С, если их изображение таково, как на рисунке 8.

 

 

а) б) в)

Рис. 8

 

45. Найдите пересечение и объединение множества С = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если:


а) D = {12, 14, 18, 20, 22, 24};

б) D = {14, 16, 18, 20};

в) D = {3, 4, 5, 6};

г) D = С.


46. Вместо многоточия поставьте «и» либо «или»:

а) Элемент х принадлежит объединению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р… множеству Q.

б) Элемент х не принадлежит множеству Р È Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q.

в) Элемент х принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р ... принадлежит множеству Q.

г) Элемент х не принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q.

47. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых А Ç В ¹ Æ, А È В ¹Æ, А Ç В = В, А È В = В, если:

а) А – множество учащихся класса, занимающихся в кружке по рисованию, В – множество мальчиков класса;

б) А – множество девочек класса, В – множество отличников класса.

48. Укажите характеристическое свойство элементов множества Х = А Ç В È С, если A = (–3; 0], B =]–2, 2[, С = (0, ).

Верно ли, что: а) 0 Î X; б) –2 Î X; в) 27,3 Î X?

49. Укажите характеристическое свойство элементов множества М = А È В Ç С, если A = ( ;– 2), В = (–7;– 1], С = ( –3, ).

Принадлежат ли множеству М числа: –3,7; 0; 12?

50. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества С È D Ç Е и СÇ D È Е, и задайте каждое из них описанием характеристического свойства. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж.

 

51. Р – множество натуральных делителей числа 18, Q – множество натуральных делителей числа 24. Укажите характери­стическое свойство элементов пересечения множеств Р и Q и перечислите его элемент

52. Найдите пересечение и объединение множеств К и М, если К – множество двузначных чисел, М – множество нечетных чисел. Верно ли, что:


а) 21 Î К Ç М;

б) 32 Ï К Ç М;

в) 32 ÎK ÈМ;

г) 7 Î К Ç М;

д) 7 Î К È М;

е) 135 ÏK È М?


53. Постройте круги Эйлера для множеств А, В и С и укажите характеристическое свойство элементов множества А Ç (В Ç С), если:

а) А – множество правильных многоугольников, В – множество треугольников, С – множество четырехугольников;

б) А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников;

в) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;

г) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество треугольников.

В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множество АÇВÇ С, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству.

54. Даны множества: А = {а, b, с, d, е}, В = {с, d, f, к), С = {b, с, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К = (А È В)ÇС и Р = A È (В Ç С). Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р?

55. А – множество чисел, кратных 2, В – множество чисел, кратных 3, С – множество чисел, кратных 5. Укажите характеристическое свойство элементов множеств (А È В) ÇС и (А Ç В) È С.

56. Найдите разность множества А = {a, b, c, d, e} и множества В, если:


а) В = {c, d, e, f, k, l};

б) В = {a, c, e};

в) B = {c, a, d, e};

г) B = {k, l, m};

д) В = {a, b, c, d, e, f, k};

е) В = Æ.


57. Даны множества: Р – множество остроугольных треугольников, Q – множество равнобедренных треугольников, S – множество равносторонних треугольников. Укажите характеристическое свойство элементов множеств X = (Р Ç Q) \ S и Y = Q' Ç (Р È S). Установите, какие из треугольников, изображенных на рисунке 13, принадлежат множеству X, а какие – множеству Y.

58. Т – множество многоугольников, имеющих прямой угол, Р – множество квадратов, М – множество треугольников. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = Р È (М \ Т).

59. Известно, что X – множество двузначных чисел, Е – множество четных натуральных чисел, У – множество натуральных чисел, кратных 4. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: а) А = X ÇYÇ Е, б) В = X È Y \ В; в) С = X Ç Y' ÈE. Каковы характеристические свойства элементов множеств A, B и С?

60. А – множество параллелограммов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников с углом в 60°. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = А Ç С È В, и две фигуры, принадлежащие множеству Y = (С \ А) \ В.

61. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств А\ В и В \ А.

62. Р – множество двузначных чисел, Q – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и Q и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащих этой разности. Верно ли то, что Р \ Q содержит числа 21; 17?

В следующих упражнениях изобразить множества А, В, С, Д на кругах Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X. Задать множество Xсловесным способом, при необходимости ввести подходящее универсальное множество И.

63. А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников со стороной 5 см.

а) Х = (В\А) È (А ÇС); б) Х=(А ÇВ) и (А\С); в) Х = АÇ(ВÈ С).

64. В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол.

а) Х = Д È(В\С); б) Х = (Д ÇВ) ÈС.

65. А – множество прямоугольников, В – множество ромбов, С – множество параллелограммов со стороной 3 см:

а) Х = А'Ç(В\С); б) Х = (АÇВ)\С; в) Х = (А\С)ÈВ

66. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см:

а) Х = (А\ В)Ç С; б) Х=(А\В)\С; в) Х=А' È (В\С).

67. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см:

а) Х= (А Ç С) È (В ÇС); б) Х= (А\С) ÇВ'.

Найти А È В, АÇ В, А\В, В\А, и А,И= R в следующих упражнениях.

68. Множества X и Y являются подмножествами универсального множества, и X Ç Y¹Æ. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество:


a) X' Ç Y',

б) X' È Y',

в) (X È Y)';

г) (X Ç Y)'.


Для каждого случая сделайте отдельный чертеж. Есть ли среди этих множеств равные?

69. А – множество однозначных чисел, В – множество нечетных однозначных чисел, С – множество однозначных чисел, кратных 3. Изобразите множества А, В и С при помощи кругов Эйлера. Отметьте штриховкой (для каждого случая сделайте отдельный чертеж) множество:

а) В';

б) С';

в) В' Ç С';

г)В'ÇС';

д) (В Ç С)';

е)(ВÈС)'.


Каково характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств? Есть ли среди этих множеств равные?

70. А = (–¥, 3); В = (– 3, +¥).

71. А = [0, 5]; В = (–3,2).

72. А = (– 3,7]; В = [5, 6).

73. А = (–¥, 5); В = (0, +¥).

74. А = [0, 5]; В = (–3,0).

75. А = [– 3,7); В = (1, 5].

76. А = [– 2,7); В = (3, 5].

77. А = (–¥, 3); В = [3,10).

78. А = (0, 11); В = (–3, 7].

79. А = (– 4, +¥); В = [0, 3).

80. А = [– 2,+¥); В = (0, 4].

В упражнениях 70 – 79 доказать, что для любых множеств А, В, С верны равенства.

81. А Ç (ВÈС) = (АÇВ)È(АÇС).

82. (А Ç В) \С =А Ç (В \С).

83. (АÈВ)\С= (А\С)È(В\С).

84. (А\В) \С=(А\С)\В.

85. (А Ç В)\С = В Ç (А\С).

86. А = (А\В) È(АÇ В).

87. (А\В)'=А'È(АÇВ).

88. (АÈВ)' = А'ÇВ1

89. (А ÇВ)' = А' È В1

90. АÈ (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

91. Докажите, что для любых множеств А и В верно равенство:

а) (А \ В) Ç В = Æ; б) (A \ В) Ç (А Ç В) = Æ; в) (A \ В) È (А Ç В) = А.

92. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство:

a) (A \ В) Ç (A \ С) = A \ (В È С); б) A Ç В \ С = А Ç (B\С).
5. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ

Можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1. Все подмножества, образующие разбиение, не пусты.

2. Любые два таких подмножества не пересекаются.

3. Объединение всех подмножеств есть данное множество. Условие 1 иногда опускают.

Символическая запись этого определения следующая.

Пусть дано множество А и совокупность его подмножеств: А1, А2, ..., Ап (где Аi Ì А, i = 1, 2,..., n).

Совокупность подмножеств А1, А2, ..., Ап называется разбиением множества А на классы, а сами подмножества – классами, если выполняются условия:

1. Аi ¹Æ, i = 1, 2,…, n.

2. AiÇAj = Æ, i, j = 1, 2, …,n; i ¹ j.

3. A1ÈA2È…ÈAn = A

Рассмотрим задачи, связанные с оценкой правильности разбиения множества на классы и с самостоятельным разбиением множества на классы при использовании двух свойств.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1385. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.029 сек.) русская версия | украинская версия