Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пример выполнения лабораторной работы




Задача 1. Вероятности выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:

а) выиграют ровно 3;

б) выиграют не более 3;

в) выиграют не менее 4.

Решение. а) Так как число облигаций, участвующих в розыгрыше, невелико, воспользуемся формулой Бернулли для решения задачи:

> restart: n:=8;m:=3;p:=0.25;

n:=8

m:=3

p:=0.25

Применим формулу Бернулли:

> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(8,3,0,25):=0,2076416016

б) Искомую вероятность найдём по формуле .

Проводим вычисления.

> P(n,k<=m,p):=sum(n!/(i!*(n-i)!)*p^i*(1-p)^(n-i),i=0..3);

P(8,k≤ 3,0.25)=0.8861846924

в) Вероятность события «выиграют не менее 4» находим как вероятность противоположного события к событию «выиграют не более 3»:

>P(n,k>=m+1,p):=1 – P(n,k<=m,p);

P(8,4≤ k,0.25)=0.1138153076

Задача 2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено:

а) ровно 4 пары;

б) не более 4 пар;

в) не менее 3 и не более 8 пар.

Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем

> restart: n:=200;m:=4;p:=0.01;

n:=200

m:=4

p:=0.01

По формуле Бернулли:

> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(200,4,0.01):=0.09021970194

По формуле Пуассона:

> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);

P1(200,4,0.01):= 0.09022352212

С использованием локальной теоремы Муавра – Лапласа:

> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x:=1.421338109

> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));

P(200,4, 1.421338109):=0.1032514539

Делаем вывод о том, что более точный результат даёт формула Пуассона.

Замечание. При больших и при малых значениях более точный результат даёт формула Пуассона, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием этой формулы.

б) Находим искомую вероятность по формуле:

>P(n,k<=4,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=0..4));

P(200,k≤ 4,0.01):= 0.9473469824

в) Найдём вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не менее 3 и не более 8 пар. Воспользуемся вновь формулой Пуассона:

> P(n,3<=k,k<=8,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=3..8));

P(200, 3<=k,k<=8, 0,01):= 0.05241557000

 

Задача 3. Вероятность того, что случайный покупатель потратит в супермаркете более 500 руб., равна 0,24. Найти вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят:

а) ровно 100 чел.;

б) не более 100 чел.;

в) не менее 85 и не более 125 чел.;

Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n:=400;m:=100;p:=0.24;

n:=400

m:=100

p:=0.24

По формуле Бернулли:

> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(400,100,0.24):= 0.04128662045

По формуле Пуассона:

> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);

P1(400,100,0.24):= 0.03671549490

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x:=0 .4682929058

> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));

P(400,100,0 .4682929058):= 0.04185502868

Делаем вывод о том, что в данной ситуации более точный результат даёт локальная теорема Муавра – Лапласа, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

б) Имеем

> m1:=0;m2:=100;

m1:=0

m2:=100

> x1:=(m1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x2:=(m2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x1:= -11.23902974

x2:= 0.4682929058

> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));

P(400, 0≤k≤100, 0.24)=0 .6802124294

в) Найдём вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят не менее 85 и не более 125 чел.

> m1:=85;m2:=125;

m1:=85

m2:=125

> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));

P(400,85≤k≤125,0.24)=0 .9007501711

Контрольные вопросы

1. Какие испытания называются независимыми? Приведите при-меры независимых испытаний.

2. Что понимают под схемой Бернулли? Приведите примеры ситуаций, в которых присутствует схема Бернулли.

3. Что такое «успех» и «неудача» в схеме Бернулли? Как связаны их вероятности?

4. Запишите формулу Бернулли. Какую вероятность вычисляют по этой формуле? Приведите примеры задач, в которых используется формула Бернулли.

5. В каких случаях и какие приближённые формулы используют в схеме Бернулли ?

6. При каких условиях более точный результат даёт та или иная приближённая формула?

7. Приведите примеры задач, в которых используются формула Пуассона и локальная теорема Муавра – Лапласа.

8. Как найти вероятность того, что в п испытаниях схемы Бернулли «успех» наступит: а) не более m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) менее m раз.

9. Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. Приведите примеры задач, в которых используется эта теорема.

10. Каким образом нужно решать следующую задачу: найти вероятность того, что в 450 независимых испытаниях «успех» наступит не менее 10 и не более 15 раз, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,3 (если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,03).







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1363. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия