Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задание 12




Пример 1. В следующей таблице приводятся данные по расходу сырья на единицу продукции в зависимости от использования новой и старой технологий:

 

Старая технология

 

Новая технология

 

Полагая, что расходы сырья по каждой технологии имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости 0,05 выяснить, дает ли новая технология экономию в среднем расходе сырья.

Решение.

Вначале определим выборочные средние:

, .

Теперь определим выборочные дисперсии:

, .

Проверяется нулевая гипотеза Н0 о равенстве генеральных средних. В качестве альтернативной берется гипотеза о преимуществе новой технологии над старой. Для проверки нулевой гипотезы используется статистика

,

которая имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы.

В данном примере , , , , , . Поэтому выборочное значение статистики будет равно

.

Поскольку квантиль уровня 0,95 t-распределения с 20 степенями свободы равен 1,7 и 3 > 1,7, то нулевая гипотеза отвергается и можно считать, что новая технология дает значительное уменьшение среднего расхода сырья по сравнению со старой.

Пример 2. В следующей таблице приводятся выборочные данные опроса студентов государственных и негосударственных вузов г. Минска о вредном влиянии курения на учебу:

 

  Вредит Не вредит
Государственные вузы 60 человек 45 человек
Негосударственные вузы 69 человек 71 человек

 

Подтверждают ли эти данные предположение о том, что отношение к курению студентов государственных и негосударственных вузов различно? Принять уровень значимости равным 0,1.

Решение.

Проверяется гипотеза о равенстве генеральных долей. В качестве альтернативной гипотезы берется гипотеза о различии генеральных долей. Для проверки нулевой гипотезы используется статистика

,

которая имеет стандартное распределение.

В данном примере , , , .

При этом неизвестная величина p заменяется смешанной выборочной долей . Итак, выборочное значение статистики приближенно равно

.

Поскольку квантиль стандартного распределения равен 1,645 и 1,21 < 1,645, то нулевая гипотеза принимается, т.е. полученные данные не противоречат гипотезе об одинаковом отношении студентов к курению.


Варианты заданий для выполнения самостоятельных и контрольных работ

Вариант 1

Задание 1. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что

а) один наугад выбранный билет окажется выигрышным;

б) два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными;

в) из десяти выбранных билетов два окажутся выигрышными.

Задание 2. а) На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное двумя окружностями?

б) В куб со стороной 2R вписан шар. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри куба, окажется внутри шара.

Задание 3. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,9 для первого сигнализатора, 0,8 для второго и 0,6 для третьего. Найти вероятность того, что при аварии:

а) сработают все сигнализаторы;

б) не сработает ни один сигнализатор;

в) сработает только один сигнализатор;

г) сработает хотя бы один сигнализатор;

д) сработает только два сигнализатора.

Задание 4. На монетном дворе имеется три группы станков, на которых печатаются деньги. Производительность станков одинаковая, но качество производства на них разное: станки первой группы дают 3% брака, второй – 5%, третий 4%. Количество станков в группах равны соответственно 5, 6 и 3. Все деньги складываются в хранилище. Какова вероятность того, что

а) наугад взятая в хранилище банкнота окажется бракованной;

б) наугад взятая банкнота, оказавшаяся бракованной, напечатана на станке второй группы.


Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х.

1) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2) Построить функцию распределения и ее график.

 

Х -5
Р 0,4 0,3 0,1 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Дано:

Задание 7. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найти вероятность того, что за время t откажут

а) три элемента;

б) не более трех элементов;

в) более трех элементов.

Задание 8. Длина детали, изготовленной на станке, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами = 20 см, = 0,2 см. Какую точность длины детали можно гарантировать с вероятностью 0,95?

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 1000, p = 0,006, s = 15, с = 1200.

Задание 10. На сборы приглашены 120 спортсменов. Вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норматив, равна 0,7. Определить вероятность того, что норматив выполнят:

а) 80 спортсменов;

б) не менее 85 и не более 95 спортсменов.

Задание 11. На основании 10 опытов было определено, что в среднем для производства детали требуется 5,5 сек, при этом выборочное среднее квадратическое отклонение составило 1,7 сек. Время для производства детали есть нормально распределенная случайная величина. С надежностью 0,9 определить границы, в которых находится

а) среднее значение времени для производства детали;

б) дисперсия времени для производства детали.

Задание 12. По выборкам объемов 14 и 9 найдены средние размеры деталей соответственно 182 и 185 мм, изготовленных на первом и втором автоматах. Установлено, что размер детали, изготовленной каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. Известны дисперсии: 5 мм2 – для первого автомата, 7 мм2 – для второго. Выяснить влияние на средний размер детали автомата, на котором она изготовлена, приняв гипотезу о различии генеральных средних за альтернативную (на уровне значимости 0,1).


Вариант 2

Задание 1. На станции метро в вагон вошли 5 человек. Каждый из них может с одинаковой вероятностью выйти на любой из восьми станций. Найти вероятность того, что

а) все они выйдут на одной станции;

б) три человека выйдут на одной станции.

Задание 2. а) В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в треугольник?

б) В шар радиуса R вписан куб. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри шара, окажется внутри куба.

Задание 3. Три стрелка стреляют по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго - 0,85, для третьего – 0,75. Найти вероятность того, что при трех независимых выстрелах в мишень

а) попадут все стрелки;

б) не попадет ни один стрелок;

в) попадет только один из стрелков;

г) попадет хотя бы один стрелок;

д) попадут только два стрелка.

Задание 4. Вероятности того, что во время работы компьютера произойдет сбой жесткого диска, оперативной памяти и монитора относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя жесткого диска, оперативной памяти и монитора соответственно равны 0,8, 0,9 и 0,7. Найти вероятность того, что

а) возникший в компьютере сбой будет обнаружен;

б) обнаруженный сбой произошел в жестком диске.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х.

1) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2) Построить функцию распределения и ее график.

Х 0,2 0,5 0,6 0,8
Р 0,1 0,5 0,2 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти: а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Дано:

 

Задание 7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется

а) не более четырех бракованных;

б) более четырех бракованных.

Задание 8.Длина изготавливаемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами = 15 см, = 0,2 см. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 15 0,3 см. Какую точность длины изготавливаемой автоматом детали можно гарантировать с вероятностью 0,97?

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 2000, p = 0,005, s = 5, с = 500.

Задание 10.Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется:

а) 70 деталей высшего сорта;

б) не менее 80 деталей высшего сорта.

Задание 11. Станок-автомат штампует валики. Для выборки объема 12 выборочный средний диаметр валиков составил 10 мм, а их среднее квадратическое отклонение – 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально. Определить доверительный интервал, с надежностью 0,9 содержащий:

а) математическое ожидание диаметра валика во всей генеральной совокупности;

б) дисперсию диаметра валика.

Задание 12. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды, которая подчиняется нормальному закону распределения. Оценки жесткости воды до и после добавления специальных веществ по 40 и 50 пробам соответственно показали средние значения жесткости, равные 4 и 3,8 градуса. Дисперсия измерения в обоих случаях предполагается равной 0,25 град2. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект (уровень значимости принять равным 0,05)?


Вариант 3

Задание 1. Изготовлена партия из 200 деталей, в которой оказалось три бракованных. Найти вероятность того, что из пяти выбранных изделий

а) будут два бракованных;

б) будет одно бракованное изделие.

Задание 2. а) Около круга радиуса R описан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в треугольник, попадет в круг?

б) В шар радиуса R вписан конус, основание которого совпадает с экваториальным сечением шара. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри шара, окажется внутри конуса.

Задание 3. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими сотрудниками соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность того, что:

а) все сотрудники своевременно выполнят задание;

б) ни один сотрудник не выполнит задание своевременно;

в) только один сотрудник своевременно выполнит задание;

г) хотя бы один сотрудник своевременно выполнит задание;

д) только два сотрудника своевременно выполнят задание.

Задание 4. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98%, 88%, 90% случаев. Найти вероятность того, что

а) поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;

б) телевизор, работавший исправно в течение гарантийного срока, поступил от первого поставщика.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х.

1) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

2) Построить функцию распределения и ее график.

Х -6 -2
Р 0,1 0,3 0,4 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано:

Задание 7. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено

а) не более двух изделий;

б) более двух изделий.

Задание 8. Для замера напряжений используются специальные тензодатчики. Определить среднюю квадратическую ошибку тензодатчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы 0,2 мк.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 4000, p = 0,005, s = 3, с = 400.

Задание 10.Вероятность рождения мальчика равна 0,51. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Найти вероятность того, что среди них будет:

а) 100 мальчиков;

б) не менее 90 и не более 120 мальчиков.

Задание 11. Средний диаметр 16 саженцев, выросших на опытном участке, оказался равным 45,5 мм, а среднее квадратическое отклонение – 5,6 мм. Предполагая, что диаметр саженцев имеет нормальное распределение, найти доверительный интервал с надежностью 0,9:

а) для среднего диаметра всех саженцев на участке;

б) для дисперсии диаметра саженцев.

Задание 12. Для проверки новой технологии отобраны две группы рабочих. В первой группе, где применялась новая технология, выборочная средняя выработки 50 рабочих составила 85 изделий, а во второй группе выборочная средняя выработки 70 рабочих составила 78 изделий. Выработка распределена по нормальному закону. Предварительно было установлено, что дисперсии выработки в группах равны 100 и 74. Выяснить влияние новой технологии на среднюю выработку, приняв эффективность применения новой технологии за альтернативную гипотезу (уровень значимости принять равным 0,05).


Вариант 4

Задание 1. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Какова вероятность того, что среди пяти отобранных деталей

а) две окажутся бракованными;

б) все окажутся бракованными?

Задание 2. а) В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в квадрат?

б) В шар радиуса R вписан конус таким образом, что в сечении, проходящем через экватор шара и ось конуса, получается равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри шара, окажется внутри конуса.

Задание 3. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за время t первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,7, 0,9, 0,8. Найти вероятность того, что за время t

а) все элементы будут работать безотказно;

б) откажут все элементы;

в) безотказно будет работать только один элемент;

г) безотказно будет работать хотя бы один элемент;

д) безотказно будут работать только два элемента.

Задание 4. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартная, и с вероятностью 0,06, если она нестандартная. Определить вероятность того, что

а) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль;

б) изделие, прошедшее упрощенный контроль, является нестандартным.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -8 -2
Р 0,1 0,3 0,4 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано: .

Задание 7. Магазин получил 1000 бутылок пива. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит

а) не более двух разбитых бутылок;

б) более двух разбитых бутылок.

Задание 8. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами = 5 см, = 0,81 см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали:

а) составит от 4 до 7 см;

б) отличается от математического ожидания не более, чем на 2 см.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 5000, p = 0,006, s = 12, с = 1250.

Задание 10.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что в результате 500 выстрелов окажется:

а) 210 промахов;

б) не менее 200 и не более 300 промахов.

Задание 11. У 15 коров средняя жирность молока оказалась равной 3,8 %, а дисперсия – 2,7 %. Считая жирность молока распределенной по нормальному закону, определить с надежностью 0,9:

а) границы, в которых будет заключена средняя жирность молока всего стада;

б) дисперсия жирности молока.

Задание 12. В результате двух серий измерений с количеством измерений 25 и 50 получены соответственно средние значения исследуемой величины, меющей нормальное распределение, равные 9,79 и 9,6. Можно ли объяснить на уровне значимости 0,1 это расхождение случайными причинами, если известно, что средние квадратические отклонения в обеих сериях измерений 0,3.


Вариант 5

Задание 1. На склад привезли 50 ящиков комплектующих изделий для одного из видов компьютеров, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида компьютеров. Наудачу взяли шесть ящиков. Найти вероятность того, что

а) в одном из этих ящиков окажутся некомплектные детали;

б) в трех ящиках окажутся некомплектные детали.

Задание 2. а) Около круга радиуса R описан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот квадрат, попадет в круг?

б) Около шара радиуса R описан конус таким образом, что в сечении, проходящем через ось конуса, получается равносторонний треугольник, описанный около окружности. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри конуса, окажется внутри шара.

Задание 3. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности отказа за время t этих элементов равны соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Найти вероятность того, что за время t

а) откажут все элементы;

б) все элементы будут работать безотказно;

в) откажет только один элемент;

г) откажет хотя бы один элемент;

д) откажут только два элемента.

Задание 4.Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: первый класс – малый риск, второй класс – средний, третий – большой риск. Среди клиентов 50% - первого класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова вероятность того, что

а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования;

б) застрахованный, получивший денежное вознаграждение, относится к третьему классу риска?

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -2
Р 0,1 0,3 0,4 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано:

Задание 7. Время ожидания автобуса можно считать распределенным равномерно в интервале движения, равном 10 минутам. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очередной автобус

а) не более трех минут;

б) более трех минут.

Задание 8. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры . Считая, что распределена нормально, = 10 мм, = 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 6000, p = 0,005, s = 11, с = 1500.

Задание 10.Отдел технического контроля проверяет 500 изделий. Брак на предприятии составляет 1%. Найти вероятность того, что:

а) бракованных изделий окажется ровно 5;

б) число бракованных изделий окажется в пределах от 5 до 10.

Задание 11. Автомат штампует детали. Контролируется длина деталей, которая распределена по нормальному закону. Для контроля случайным образом отобраны 17 деталей. В результате измерений оказалось, что их средняя длина равна 980 мм, а выборочная дисперсия длины равна 324 мм2. Найти границы, в которых с надежность 0,9 заключена:

а) средняя длина всей партии деталей;

б) дисперсия всей партии деталей.

Задание 12. В рекламе утверждается, что месячный доход по акциям А превышает доход по акциям В. В течение годичного периода средний месячный доход по акциям В составил 0,5 %, а по акциям А – 0,65 %, а его средние квадратические отклонения соответственно 1,9 и 2 %. Полагая распределения доходности по каждому виду акций нормальными, проверить утверждение, содержащееся в рекламе (на уровне значимости 0,05).


Вариант 6

Задание 1. В партии из 15 однотипных стиральных машин 5 машин изготовлены на заводе А, 10 – на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что

а) две из них изготовлены на заводе А;

б) все изготовлены на заводе В.

Задание 2. а) В круг радиуса R вписан правильный шестиугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в шестиугольник?

б) В шар радиуса R вписан цилиндр таким образом, что в осевом сечении получается окружность, описанная около квадрата. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри шара, окажется внутри цилиндра.

Задание 3. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от трех изготовителей. Вероятность отказа в поставке продукции от первого изготовителя равна 0,05, от второго – 0,08, от третьего – 0,01. Найти вероятность

а) отказа в поставке продукции всех изготовителей;

б) безотказной поставки продукции всех изготовителей;

в) отказа в поставке продукции только одного предприятия;

г) отказа в поставке продукции хотя бы одного предприятия;

д) отказа в поставке продукции только двух предприятий.

Задание 4. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что

а) приобретенное изделие окажется нестандартным;

б) изделие, оказавшееся нестандартным, изготовлено на первой фирме.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -3
Р 0,3 0,4 0,1 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано: .

Задание 7. На двухсоткилометровом участке газопровода между станциями A и B происходит утечка газа. Известно, что утечка в любой точке газопровода может произойти с вероятностью 0,015. Найти вероятность того, что утечка произошла

а) не далее, чем в 20 км от какой-нибудь из станций A или B;

б) далее, чем в 20 км от какой-нибудь из станций A или B.

Задание 8. Какой величины должно быть поле допуска зубчатого колеса, чтобы с вероятностью не более 0,003 изготовленное колесо с контролируемым размером оказалось вне поля допуска? Случайные отклонения размера от середины поля допуска распределены по нормальному закону с параметрами =0, = 5 мк.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 10000, p = 0,004, s = 10, с = 1700.

Задание 10.В магазин вошли 80 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого равна 0,7. Найти вероятность того, что совершат покупку:

а) 50 покупателей;

б) не менее 60 покупателей.

Задание 11. Известно, что емкость конденсаторов распределена по нормальному закону. По результатам 16 измерений найдено, что средняя емкость равна 20 мкф, а среднее квадратическое отклонение – 4 мкф. Найти 90 %-ный доверительный интервал

а) для математического ожидания емкости конденсатора;

б) для дисперсии емкости конденсатора.

Задание 12. Произведение две выборки урожая пшеницы: при своевременной уборке урожая и при уборке с некоторым опозданием. В первом случае при наблюдении 8 участков выборочная средняя урожайность составила 16,2 ц/га; во втором случае при наблюдении 9 участков те же характеристики равнялись соответственно 13,9 ц/га и 2,1 ц/га. На уровне значимости 0,05 выяснить влияние своевременности уборки урожая, полагая, что урожайности различных групп участков имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями. В качестве альтернативной принять гипотезу о существенном влиянии на урожайность сроков уборки.


Вариант 7

Задание 1. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что

а) это красные шары;

б) 2 красных и 2 голубых шара.

Задание 2. а) Около круга радиуса R описан правильный шестиугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в шестиугольник, попадет в круг.

б) Около шара радиуса R описан цилиндр таким образом, что в осевом сечении получается окружность, вписанная в квадрат. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри цилиндра, окажется внутри шара.

Задание 3. Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты три счета. Найти вероятность того, что

а) все счета оформлены правильно;

б) ни один счет правильно не оформлен;

в) только один счет оформлен правильно;

г) хотя бы один счет оформлен правильно;

д) только два счета оформлены правильно.

Задание 4. Вероятность изготовления изделия с дефектом на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 0,96, а в случае изделия с дефектом – с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что

а) взятое наугад изделие пройдет упрощенную проверку;

б) изделие, прошедшее упрощенную проверку, окажется с дефектом.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -4 -1
Р 0,3 0,1 0,4 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано:

Задание 7. Время, необходимое на ремонт автомобиля, распределено по показательному закону с параметром 0,2. Найти вероятность того, что время ремонта одного автомобиля

а) не превышает 6 часов;

б) превышает 6 часов.

Задание 8. Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 106%, среднее квадратическое отклонение 9%. Полагая, что выполнение плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить процент предприятий, не выполняющих план.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 1000, p = 0,004, s = 4, с = 500.

Задание 10.К магистральному водопроводу подключены 160 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0,7 в данный момент времени осуществляет забор воды. Найти вероятность того, что в этот момент забор воды производят:

а) 80 предприятий;

б) не менее 80 и не более 120 предприятий.

Задание 11. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 10 штук. Коэффициент усиления в среднем оказался равен 107, среднее квадратическое отклонение - 3. Найти 90 %-ный доверительный интервал

а) для среднего значения коэффициента усиления;

б) для дисперсии коэффициента усиления.

Задание 12. В течение месяца завод поставил предприятию 200 корпусов, из которых 3 оказались дефектными. В следующем месяце было поставлено 850 корпусов, из которых 7 оказались дефектными. Изменилась ли доля дефектных корпусов в поставках завода? Уровень значимости принять равным 0,01.


Вариант 8

Задание 1. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется

а) 2 мужчины и 2 женщины;

б) 4 женщины.

Задание 2. а) В прямоугольник со сторонами a и b вписан эллипс. Найти вероятность того, что точка, брошенная в прямоугольник, попадет в эллипс.

б) В куб вписан конус, радиус основания которого равен R. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри куба, окажется внутри конуса.

Задание 3. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказа этих элементов равны соответственно 0,2; 0,1; 0,3. Найти вероятность того, что

а) откажут все элементы;

б) все элементы будут работать безотказно;

в) откажет только один элемент;

г) откажет хотя бы один элемент;

д) откажут только два элемента.

Задание 4. В одном из трех магазинов ежедневно 80% всех посетителей совершают покупки, в другом – 70%, в третьем – 60%. Количества посетителей этих магазинов находятся в отношении 3:3:4. Найти вероятность того, что

а) посетитель совершил покупку в одном из трех магазинов;

б) эта покупка совершена во втором магазине.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -3
Р 0,3 0,4 0,1 0,2

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано:

Задание 7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с параметром 0,03. Найти вероятность того, что время безотказной работы элемента

а) не превысит 8 часов;

б) превысит 8 часов.

 

Задание 8. При среднем весе некоторого изделия в 8,4 кг найдено, что отклонения, по абсолютному значению превосходящие 50 г, встречаются в среднем 3 раза на каждые 100 изделий. Допуская, что вес изделий распределен по нормальному закону, определить его среднее квадратическое отклонение.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 2000, p = 0,006, s = 2,5, с = 250.

Задание 10.В жилом доме имеется 600 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет:

а) ровно 300;

б) заключено между 280 и 320.

Задание 11. По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг мэра составил 30 %. Среднеквадратическое отклонение составляет 2 %. Найти границы, в которых с надежностью 0,9

а) будет заключен средний рейтинг мэра;

б) будет заключена дисперсия рейтинга мэра.

Задание 12. Вступительный экзамен проводился на двух факультетах института. На финансовом факультете из 900 абитуриентов выдержали экзамен 500 человек, а на учетно-статистическом факультете из 800 абитуриентов – 408 человек. Проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в уровне подготовки абитуриентов двух факультетов. Уровень значимости принять равным 0,01.


Вариант 9

Задание 1. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке

а) одно изделие бракованное;

б) два бракованных изделия.

Задание 2. а) Около ромба с диагоналями a и b описан эллипс. Найти вероятность того, что точка, брошенная в эллипс, попадет в ромб.

б) В конус, радиус основания которого равен R, а высота 2R, вписан меньший конус, вершиной которого является центр основания большого конуса, а основанием – сечение, проведенное параллельно основанию большого конуса через середину высоты. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри большого конуса, окажется внутри малого конуса.

Задание 3. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Вероятности попадания каждой из трех бомб соответственно равны 0,6, 0,8, 0,9. На мост сброшены 3 бомбы. Найти вероятность того, что

а) попадут все бомбы;

б) ни одна бомба не попадет;

в) попадет только одна бомба;

г) попадет хотя бы одна бомба;

д) попадут только две бомбы.

Задание 4. Изделие проверяется на стандартность одним из трех контролеров. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру равна 0,25, ко второму – 0,35, к третьему – 0,4. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым контролером равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что

а) случайно выбранное изделие оказалось стандартным;

б) выбранное изделие, оказавшееся стандартным, проверено вторым контролером.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -6 -2
Р 0,2 0,4 0,1 0,3

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано:

Задание 7. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показательное распределение с параметром 0,04. Найти вероятность того, что прибор будет исправен

а) менее 100 часов;

б) более 100 часов.

Задание 8. Во время дежурства двух операторов, делающих ошибки согласно нормальному распределению с параметрами =0 м, = 15 м, = 3 м, = 10 м, была допущена ошибка в 23 м. Какого оператора вероятнее подозревать в ее совершении?

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 4000, p = 0,004, s = 3, с = 500.

Задание 10.Вероятность банкротства отдельной фирмы равна 0,75. Определить вероятность того, что из 200 фирм обанкротятся:

а) ровно 150;

б) не менее 140 и не более160.

Задание 11. Из большого числа вкладчиков банка было отобрано 300 вкладчиков. Средний размер их вклада составил 8000 у.е., а средняя выборочная дисперсия – 50. Найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключена

а) генеральная средняя вкладов;

б) дисперсия вкладов.

Задание 12. В партии из 500 деталей, изготовленных первым станком автоматом, оказалось 60 нестандартных; из 600 деталей второго станка – 42 нестандартных. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей изготовления нестандартных деталей обоими станками. Уровень значимости принять равным 0

Вариант 10

Задание 1. В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбираются два холодильника. Какова вероятность того, что

а) они будут без дефекта;

б) один холодильник с дефектом.

Задание 2. а) В круг радиуса R вписан прямоугольный равнобедренный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в круг, попадет в треугольник.

б) В куб со стороной а вписана пирамида, основание которой совпадает с основанием куба. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри куба, окажется внутри пирамиды.

Задание 3. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех наугад выбранных накладных

а) правильно оформлены все накладные;

б) все накладные оформлены неправильно;

в) правильно оформлена только одна накладная;

г) правильно оформлена хотя бы одна накладная;

д) правильно оформлены только две накладные.

Задание 4. В магазин поступают телевизоры, изготовленные тремя объединениями, причем их количества находятся в отношении 3:10:7. Известно, что вероятность нарушения работы кинескопа в течении гарантийного срока для первого объединения равна 0,08, для второго – 0,06, для третьего – 0,05. Найти вероятность того, что случайно выбранный телевизор

а) выдержал гарантийный срок;

б) был произведен на первом объединении, если известно, что он выдержал гарантийный срок.

Задание 5. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х -5 -3
Р 0,2 0,1 0,1 0,6

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Требуется найти:

а) неизвестный параметр ;

б) функцию распределения случайной величины ;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание случайной величины .

Дано: .

Задание 7. Длительность времени безотказной работы некоторого устройства распределена по показательному закону с параметром 0,02. Найти вероятность того, что устройство будет безотказно работать

а) менее 16 часов;

б) более 16 часов.

Задание 8. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, и их средняя масса равна 1,06 кг. Найти среднее квадратическое отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Задание 9. В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s ден. ед. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по оценке экспертов, равна p, страховое возмещение равно с ден. ед. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке?

n = 5000, p = 0,005, s = 7, с = 1000.

Задание 10.В кафе вошли 60 посетителей. Вероятность сделать заказ для каждого равна 0,8. Найти вероятность того, что сделают заказ:

а) 50 посетителей;

б) не менее 50 посетителей.

Задание 11. Глубина моря измеряется прибором (было проведено 20 замеров), при этом среднее значение глубины равно 400 м, среднеквадратическое отклонение – 4 м2. Определить границы, в которых с надежностью 0,9 находится

а) среднее значение глубины;

б) дисперсия глубины.

Задание 12. Два пресса штампуют детали одного наименования. Из партии деталей, изготовленных первым прессом, проверено 1000 деталей, из которых 25 оказались негодными. Из 800 деталей, изготовленных вторым прессом, негодными оказались 36 деталей. Согласуются ли эти результаты с предположением о равенстве доли брака в продукции двух прессов? Уровень значимости принять равным 0,1.

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2627. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.034 сек.) русская версия | украинская версия