Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва




 

Функция называется непрерывной при ( в точке ), если выполняются следующие условия:

1)функция определена в точке и в ее некоторой окрестности;

2)существует конечный предел функции в точке ;

3)этот предел равен значению функции в точке , т.е.

.

 

При этом точка называется точкой непрерывности данной функции.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но не выполнено хотя бы одно из трех условий непрерывности.

 

Классификация точек разрыва:

 

1.Если существует , но или не определена в точке или , то называют точкой устранимого разрыва или точкой разрыва типа выколотой точки.

2.Если существуют конечные односторонние пределы, но они не равны , т.е. , то называют точкой разрыва типа скачка, а разность называется скачком функции в точке .

 

Разрывы типа выколотой точки и типа скачка относятся к конечным разрывам или к разрывам I рода.

 

3.Если в точке разрыва не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов, то называют точкой разрыва 2-го рода.

Из свойств непрерывных функций:

 

1. Все основные элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические непрерывны на своих областях определения.

2. Все элементарные функции (они получаются из основных элементарных функций арифметическими операциями и суперпозициями) также являются непрерывными во всех точках своей области определения.

 

 

Пример 1.

Доказать, что функция непрерывна при всех .

Решение.

Выберем произвольную точку и покажем, что для нее выполняются все три условия, приведенные в определении непрерывности функции в точке:

1) т.к. функция определена на всей числовой оси, то точка со своей окрестностью входит в область определения;

2) применяя теоремы о пределах суммы и произведения, найдем

;

3) .

Получили, что - точка непрерывности функции, а в силу произвольности выбора данная функция непрерывна при всех .

 

 

Пример 2.

Дана функция .

При каких значениях А функция будет непрерывной в точке ?

Решение.

В точке и ее окрестности функция определена, .

Вычислим .

Тогда данная функция будет непрерывной в точке , если т.е. если А = 6.

Ответ: А = 6.

 

 

Пример 3.

Найти область непрерывности функции и ее точки разрыва.

Решение.

Данная функция является дробно-рациональной и относится к элементарным функциям. Она определена и непрерывна при всех значениях переменной, когда знаменатель не обращается в ноль, т.е. когда , то есть при .

Рассмотрим точку , где функция не определена.

Вычислим , следовательно, – точка разрыва 2-го рода.

Ответ: функция f(x) непрерывна при ,

имеет бесконечный разрыв в точке .

 

 

Пример 4.

Дана функция .

Найти промежутки непрерывности и точки разрыва функции. Построить ее график.

Решение.

Функция определена при . Она является непрерывной на интервалах , и , на которых она задана непрерывными основными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках стыковки указанных интервалов, то есть при и .

Для точки имеем:

,

Т.к. односторонние пределы конечны и не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода.

Для точки находим:

.

.

Следовательно, в точке функция непрерывна.

График функции:

 

 

Ответ: непрерывна при , в точке имеет разрыв типа скачка.

 

 

Пример 5.

Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж.

Решение.

Для точки имеем:

.

Следовательно, в точке функция непрерывна.

Для точки имеем:

не существует.

Следовательно, точка – точка разрыва 2-го рода.

 

Ответ: – точка непрерывности;

– точка разрыва 2-го рода.

 

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Построить график.

 

 

Вариант 2.

Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж .

 

 

Вариант 3.

Исследовать на непрерывность функцию .

Построить график.

 

 

Ответы.

Вариант 1.

- точка непрерывности, - точка устранимого разрыва.

График:

 

Вариант 2.

- точка непрерывности, - точка разрыва 2-го рода.

Чертеж:

 

Вариант 3.

- точка разрыва 2-го рода , - точка разрыва типа скачка.

График:

 

 

 

Дополнительные упражнения.

1. Пусть

При каком выборе числа «а» функция будет непрерывной? Построить ее график.

 

2. Охарактеризовать непрерывность функций и .

Построить их графики.

 

3. Охарактеризовать непрерывность функций и . Построить их графики.

4. Функция не определена при . Какой разрыв имеет функция в точке ?

5. Описать непрерывность и построить графики функций , где - это целая часть , она равна наибольшему целому числу, не превосходящему .

 

Ответы.

1. .

2. непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода;

непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода.

3. непрерывна при , в точке имеет устранимый разрыв.

непрерывна при , в точке имеет разрыв II рода.

4. Разрыв типа скачка.

5. непрерывна при ; имеет разрывы типа

скачка во всех целочисленных точках ;

непрерывна при ; имеет разрывы II рода во всех целочисленных точках .

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1970. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия