Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды, массу молекулы воды




Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды, массу молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение: Число N молекул, содержащихся в некоторой массе равно произведению числа Авогадро на количество вещества :

так как количество вещества:

μ - молярная масса, то

Выразив в этой формуле массу, как произведение плотности на объем V, получим

. (1)

Подставим в формулу (1) следующие значения величин: = 103 кг/м3,

V = 1 мм3 = м , μ = кг/моль, = моль и произведем вычисления:

молекул = 3,34 1019молекул.

Массу , одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

Подставим сюда числовые значения μ и и найдем массу молекулы воды:

кг = кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) , где d - диаметр молекулы воды. Отсюда

(2)

Объем найдем, разделив молярный объем на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро :

Подставим полученное выражение в формулу (2):

Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением , тогда искомый диаметр молекулы:

(3)

Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины:

Теперь подставим числовые значения физических величин в формулу (3) и произведем вычисления:

Пример 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением Р = 1 МПа и при температуре Т = 300 К. После того, как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т = 290 К. Определить давление Р гелия, оставшегося в баллоне.

Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

(1)

где - масса гелия в баллоне в конечном состоянии, μ - молярная масса гелия, R - универсальная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление Р .

(2)

Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию и массу m гелия, взятого из баллона:

(3)

Массу гелия m найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию

(4)

Подставляя в выражение (3) массу из формулы (4), а затем полученное выражение в формулу (2), найдем:

После преобразования и сокращения находим:

(5)

Левая часть расчётной формулы (5) выражает давление, имеет размерность . Проверим размерность правой части. Размерность первого слагаемого не вызывает сомнения, т.к. отношение температур – величина безразмерная. Размерность второго слагаемого:

что совпадает с размерностью давления.

Убедившись в том, что размерность правой и левой частей формулы (5) одинаковы, выразим величины,входящие в эту формулу, в единицах СИ и произведем вычисления:

P1 = 1 МПа =106 Па, , ,

R = 8,31 Дж/(мольК), T1 = 300 К, T2 = 290 К,

V = 10 л = 10-2 м3,

Пример 3.Баллон содержит = 80 г кислорода и = 320 г аргона. Давление смеси Р = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.

Решение. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих всостав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятым смесью. По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления кислорода и аргона выражается формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

откуда объем баллона:

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу m1 = 80 г = 0,8 кг, , m2 = 330 г = 0,33 кг, , m2 = 40 10-3 кг/моль, P1 = 1 МПа = 106 Па, R = 8,31 Дж/(мольК), подставим числовые значения в формулу и произведем вычисления:

Пример 4. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.

Решение: Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода двухатомная) соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой:

(1)

Подставив в формулу (1) значение и T = 350 К получим . Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством:

(2)

Число всех молекул газа можно вычислить по формуле:

(3)

где число Авогадро, - количество вещества. Если учесть, что количество вещества , где - масса газа, μ - молярная масса газа, то формула (3) примет вид:

Подставив это выражение в формулу (2) получим:

(4)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:

, , , . Подставив эти значения в формулу (4), найдем:

Пример 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение: Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

(1)

(2)

где - число степеней свободы молекул газа, - молярная масса. Для неона (одноатомный газ) , кг/моль (см. справочную таблицу). Вычисляя по формулам (1) и (2), получим:

Для водорода (двухатомный газ) , кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

Пример 6. Вычислить удельные теплоемкости и смеси неона и водорода, если массовая доля неона = 80%, массовая доля водорода = 20%. Значение удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Решение: Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на , выразим двумя способами.

(1)

(2)

где - удельная теплоемкость неона, - удельная теплоемкость водорода. Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на . получим:

отсюда

(3)

или

(4)

где и - массовые доли неона и водорода в смеси. Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем:

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

(5)

Подставим в формулу (5) числовые значения величин:

Пример 7. Кислород массой m = 2 кг занимает объем равный V = 1 м3 и находится под давлением P = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2= 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления Р = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q , переданную газу. Построить график процесса.

Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой:

(1)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), μ - молярная масса. Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева:

(2)

Выпишем заданные величины в единицах системы СИ: , кг/моль, = 8,31 Дж/моль К, V = 1 м , V2 = V3 = 3 м 3, P = P2 = 0,2 МПа = 2 105 Па, Р = 0,5 МПа = 5 105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим:

;

; .

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него и выполняя арифметические действия, находим:

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой:

Подставим числовые значения величин, получим:

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. . Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна

= Дж.

Согласнопервому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы A: , следовательно .

Пример 8. Тепловая машина работает по обратному циклу Карно. Температура нагревателя T = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Решение: Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использованной теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой:

где Q - теплота, полученная от нагревателя, А - работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

Зная КПД цикла, можно по формуле определить температуру охладителя Т2:

Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуры T нагревателя, получим:

Пример 9. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Решение: Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности - внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление, где - . где радиус пузыря. Так как , то . Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды 40 мН/м (см. справочную табл.) диаметр пузыря = 10 см = 0,1 м.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить её поверхность на , выражается формулой

В данном случае - общая площадь двух сферических поверхностей пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря, пренебрегая , получим

Подставив числовые значения величин, получим:

.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1294. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия