Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Пример 1. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой




Пример 1. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой . Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние r = 4 см.

Решение. Магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником настолько малого сечения, что абсолютная величина магнитной индукции в данной точке будет зависеть только от её расстояния до проводника. Поэтому все точки на окружности радиуса (рис. 2), лежащей в плоскости, перпендикулярной проводнику, будут иметь одинаковое значение магнитной индукции:

,

где - магнитная постоянная.

Направление вектора зависит от положения точки на окружности и направления тока в проводнике. Этот вектор направлен по касательной к проведенной нами окружности (это следует из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторной форме). Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора магнитной индукции, называется магнитной силовой линией. Окружность на рис. 2 удовлетворяет этому условию, следовательно, является магнитной силовой линией. Направление магнитной силовой линии, а значит и вектора , определено по правилу правого винта.

В формулу (1) подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

.

Пример 2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с токами в точке A (рис. 3), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r1 = 5 см, от другого r2 = 12 см.

Рис. 3.

Решение: Для нахождения магнитной индукции в точке A воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитной индукции и полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

.

Абсолютное значение магнитной индукции может быть найдено по теореме косинусов:

. (1)

где a – угол между векторами и . Значения магнитной индукции и выражаются соответственно через силу тока I и расстояние и от проводников до точки A:

; .

Подставляя выражения и в формулу (2) и вынося за знак корня, получим:

. (2)

Вычислим . Заметим, что (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем:

,

где d – расстояние между проводами. Отсюда:

.

После подстановки числовых значений получим:

Подставляя в формулу (2) значения входящих величин, определяем искомую индукцию:

.

Пример 3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a = 10 см, течет ток силой I = 100 А. Найти магнитную индукцию в точке O пересечения диагоналей квадрата.

Решение. Расположим квадратный виток в плоскости чертежа (Рис. 4) согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

. (1)

В точке O пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображений симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: . Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством:

. (2)

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током , выражается формулой:

. (3)

Учитывая, что и , формулу (3) можно переписать в виде:

.

Подставив это выражение в формулу (2), найдём:

.

Заметив, что и (т.к. ), получим:

.

Подставим в эту формулу числовые значения физических величин и произведем вычисления:

.

Пример 4. Плоский квадратный контур со стороной a = 10 см, по которому течёт ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле ( ). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол:

1) a1 = 90°, 2) a2 = 3°. При повороте контура сила тока в нём поддерживается неизменной.

Решение: Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил (Рис. 5):

, (1)

где - магнитный момент контура; B – магнитная индукция; φ – угол между вектором , направленным по нормали к контуру, и вектором .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M = 0), а значит φ = 0, т. е. векторы и совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Т.к. момент сил переменный (зависит от угла поворота φ), то для подсчёта работы применим формулу работы в дифференциальной форме ; Подставив сюда выражение M по формуле (1) и учтя, что , где I – сила тока в контуре; - площадь контура, получим . Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу при повороте на конечный угол:

.

Работа при повороте на угол :

. (2)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I = 100 А, B = 1 Тл, a = 10 см = 0,1 м и подставим в (2):

.

Работа при повороте на угол j2 = 3°:

В этом случае, учитывая, что угол j2 мал, заменим в выражении (2) :

(3)

Выразим угол j2 в радианах. После подстановки числовых значений величин в (3), найдем:

.

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле, равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:

,

где – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения.

– магнитный поток, пронизывающий контур после перемещения.

Если j1 = 90°, то , . Следовательно, , что совпадает с полученным выше результатом (3).

Пример 5. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов равную 400 В, попал в однородное магнитное поле напряжённостью . Определить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Решение. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона можно записать

,

где - нормальное ускорение или

, (1)

где e - заряд электрона; v – скорость электрона; R – радиус кривизны траектории; a – угол между направлением вектора скорости и вектором (в данном случае и a = 90°, ).

Из формулы (1) найдём

. (2)

Входящий в равенство (2) импульс может быть выражен через кинетическую энергию T электрона:

. (3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством:

.

Подставив это выражение T в формулу (3), получим

.

Магнитная индукция B может быть выражена через напряжённость H магнитного поля в вакууме:

.

где - магнитная постоянная.

Подставив найденные выражения B и mv в формулу (2), определим

. (4)

Выразим все величины, входящие в формулу (4), в единицах СИ:

(из справочной табл.),

,

,

,

.

Подставим эти значения в формулу (4) и произведём вычисления:

.

Для определения частоты обращения n воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:

. (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим:

, или .

Все величины, входящие в эту формулу, ранее были выражены в единицах СИ. Подставим их и проведём вычисления:

.

Пример 6. В однородном магнитном поле (B = 0,1 Тл) равномерно с частотой вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукции , соответствующее углу поворота рамки в 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции , определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея - Максвелла:

, (1)

где ψ – потокосцепление.

Потокосцепление связано с магнитным потоком Ф и числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением:

.

Подставляя выражение Ψ в формулу (1), получим:

. (2)

При вращении рамки (Рис. 6) магнитный поток, пронизывающий рамку в момент времени t, определяется соотношением:

,

где B – магнитная индукция, S – площадь рамки; ω – круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу (2) выражение Ф и, продифференцировав по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции:

. (3)

Круговая частота ω связана с частотой вращения n соотношением

.

Подставляя значения величин в формулу (3), получим:

. (4)

Выразив значение величин, входящих в эту формулу, в единицах СИ:

, , , , ,

и, подставив их в формулу (4), произведём вычисления:

.

Пример 7. Соленоид с сердечником из магнитного материала содержит N = 1200 витков провода, прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение: Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением:

. (1)

Потокосцепление в свою очередь может быть выражено через поток и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

. (2)

Из выражений (1) и (2) находим интересующую нас индуктивность соленоида:

. (3)

Выразим все величины в единицах СИ:

N = 1200, Ф = 6 10-6 Вб, I = 4 А.

Подставим их значения в формулу (3) и произведём вычисления:

.

Энергия W магнитного поля соленоида с индуктивностью L при силе тока I, протекающего по его обмотке, может быть вычислена по формуле:

.

Подставив в эту формулу полученное ранее выражение индуктивности (3) и, произведя вычисления, получим:

.

.

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2581. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия