Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ТЕМА № 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ




 

Бинарные отношения между элементами одного и двух множеств. Отношения обратное и противоположное данному. Свойства бинарных отношений. Отношения эквивалентности и порядка.

Литература: [1] с. 67-89; [2] с. 87-104; [3] с. 38-57; [4] с. 28-42; [5] с. 95-103; [6] с. 76-82; [7] с. 22-36.

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания I уровня)

 

1А. Даны множества Х={5, 7, 8, 9, 10} и У ={3, 4, 5, 6, 9}. Между ними установлено соответствие R: «Число х на 2 больше числа у», где хÎХ, уÎУ. Какие из следующих записей являются другими способами задания отношения R: а) Г={(3, 5), (5, 7), (6, 8), (9, 10)}; б) Г={(5, 3), (7, 5), (8, 6)}; в) R: «х=2+у», где хÎХ, уÎУ; г) Г={(5, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 3), (8, 4), (8, 3), (8, 5), (8, 6)}.

 

1Б. Дано множество А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, элементы которого связаны отношением R: «Число х на 4 больше числа у», где х, уÎА. Какие из графов соответствуют отношению R:

 

а)2 4 б) 2 4 в) 2 4 г)2

12 6 12 4

12 6 6 6

10 8 12

10 8 10• 8 •

10 8

 

2А. Известно, что Г – график бинарного соответствия между элементами множеств А и В, аÎА, вÎВ. Какие из следующих предложений являются истинными при условии, что А и В – любые множества и (а, в)ÎГ: а) ГÌА; б) ГÌВ; в) ГÌА´В; г) (А´В)ÇГ=Г; д) (А´В)ÇГ= А´В; е) (А´В)ÈГ=Г; ж) (А´В)\Г=Æ

 

2Б. На множестве У={у|уÎZ, –13£у£–2} задано отношение R: «х=2у». Какие из следующих утверждений истинны:

а) (-6, -3)ÎR; б) (-3, -6)ÎR; в) (-4, -2)ÎR;

г) (-8, -4)ÏR; д) -12R-6; е) 2R1.

 

3А. Даны множества А={а, е, и} и В={б, г, д, ж, з}. Между ними установлено соответствие R: «Буква х предшествует в алфавите букве у», где хÎА, уÎВ. Какие из следующих записей являются другими способами задания соответствия R:

а) Г={(а, б), (а, г), (а, д), (а, ж), (а, з), (е, б), (е, г), (е, д), (е, ж), (е, з), (и, б), (и, г), (и, д), (и, ж), (и, з)};

 

б) А R В

а• • ж

е• • б

•г

• з

и• • д

 

 

в) Г={(а, б), (а, г), (а, д), (а, ж), (а, з), (е, ж), (е, з)};

г) Г={(е, б), (е, г), (е, д), (и, б), (и, г), (и, д), (и, ж), (и, з)}.

 

3Б. На множестве Х={х | хÎN, х≤6} задано отношение Р:{(6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1), (5, 5), (5, 1), (4, 4), (4, 2), (4, 1), (3, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 1)}. Какие из предложений являются другими формами записи отношения Р:

а) Р= {(х, у) | х, уÎХ, х≥у}; б) Р= {(х, у) | х, уÎХ, х=2у};

в) Р= {(х, у) | х, уÎХ, х – кратно у}; г) Р= {(х, у) | х, уÎХ, х=ку, кÎN}.

 

4А. Известно, что Г – график бинарного соответствия между элементами множеств А и В, аÎА, вÎВ. Какие из следующих предложений являются истинными при условии, что А и В – любые множества и (а, в)ÎГ:

а) аÎГ; б) вÎГ; в) (а, в)ÎА´В; г) (а, в)ÌА´В;

д) {(а, в)}ÌГ; е) (в, а)ÎГ; ж) {(в, а)}ÌА´В.

 

4Б. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение S:{(х, у) | х–у=2, х, уÎХ}. Какие из рисунков соответствуют отношению S:

а) у б) у

 

-2 х 1

-1 0 1 2 3 4 5 6 х

 

у

в) у г)

 

0 1 2 х 0 1 2 3 4 х

-2

 

 

5А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4} и У={2, 4, 6}. Между ними установлено соответствие R: «Число х не больше числа у», где хÎХ, уÎУ. Какие высказывания являются истинными:

а) Г={(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6)} – график соответствия R;

б) (1, 2)ÎХ´У; в) (1, 2)ÎГ; г) (2, 2) ÎГ;

д) (4, 6)ÎГ; е) (3, 4)ÎГ; ж) (3, 4)ÎХ´У.

 

5Б. На множестве Х={–3, –1, 1, 2, 3, 4} задано отношение R: «х=у+2». Какие, из следующих утверждений истинны:

а) –1R–3; б) 1R3; в) 3R1; г) R(1)= –1; д) R(4)=2; е) R(2)= –1.

 

0А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4} и В={5, 6, 7}, между которыми установлено соответствие R:

 
 

 


Среди предложенных записей найдите другие способы задания соответствия R:

а) R={(х, у)| хÎА, уÎВ, у–х£4};

б) R={(1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)};

в) R={(1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)}

Решение: выбраны ответы а и б, т.к. графу соответствуют пары, указанные в множестве R={(1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)} (ответ б). Рассматривая пары этого соответствия, замечаем, что у – х £ 4, значит, соответствие R можно также задать следующим образом: R ={ (х, у)| хÎА, уÎВ, у – х £ 4} (ответ а).

0Б. На множестве М={а, б, в, г, д} задано отношение R: «Буква х находится в алфавите непосредственно после буквы у». Какие из следующих утверждений истинны:

а) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г), (а, б), (б, в), (в, г), (г, д)} – график отношения R;

б) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г)} – график отношения R;

в) ГÌМ2; г) R(б)=а; д) гRв.

Решение:

б) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г)} – график отношения R;

г) R(б)=а;

д) гRв;

в) ГÌМ2.

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания II уровня)

 

1А. На множестве А={4, 2, 6, 3, 5, -3, -8, -6, 0} заданы бинарные отношения: а) R: «а<в»; б) S: «Число а противоположно числу в», где а, вÎА. Задайте каждое из данных отношений другими способами.

 

1Б. Отношение R в множестве А={а, в, с, е} задано графиком: Г={(а, в), (а, с), (в, с), (в, е), (с, е)}. Каковы область определения и множество значений отношения R? Постройте граф этого отношения. Найдите R(a), R(в), R(c), R(e), R-1(a), R-1(c).

 

2А. Дано множество А={2, 4, 6, 8}. Найдите декартов квадрат множества А. Запишите графики отношений: а) Р: «а>в»; б) R: «Число а – делитель числа в», а, вÎА. Постройте графы и графики этих отношений.

 

2Б. Отношение Q задано при помощи таблицы. Постройте граф и график отношения Q, укажите его область определения и множество значений. Найдите: Q(4), Q(-2), Q-1(1), Q-1(2).

 

-4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1

 

3А. Дано множество А={2, 3, 4, 6, 9, 10}. Найдите декартов квадрат множества А. Запишите графики отношений:

а) Q: «Число а делится на число в», а, вÎА.

б) Т: «Число а не больше, чем число в», а, вÎА.

Постройте графы и графики данных отношений.

3Б. Отношение S в множестве Х={-2, -1, 0, 1, 2, 3} задано графиком Г={(-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3)}. Каковы область определения и множество значений отношения S? Постройте граф и график этого отношения. Найдите S(1), S(0), S(-1), S-1(2), S-1(3).

 

4А. Элементы множеств Х и У находятся в отношении у=х–3. постройте график данного отношения, если:

а) Х=У=R; б) Х=[-2, 2], У=R; в) Х={-2, -1, 0, 1, 2}, У=Z.

 

4Б. На рисунке изображен график отношения Е, заданного на множестве R. Каковы область определения и множество значений отношения Е? Постройте график отношения Е-1.

 

у

3

 

 
 


-2 0 1 х

 

5А. Постройте график отношения у>3х–2, заданного на множестве Х, если: а) Х=R; б) Х=Z.

 

5Б. На рисунке изображен график отношения S, заданного на множестве R. Найдите область определения и множество значений отношения S? Найдите S-1(1), S-1(2).

 

у

3

 

 
 


-1 0 1 х

-2

 

0А. На множестве А={х|хÎN, х≤6} заданы бинарные отношения:

а) R: «Число а вдвое больше числа в»;

б) Q: «Число а делится на в», где а, вÎА. Задайте каждое из данных отношений другими способами.

Решение:

А={1, 2, 3, 4, 5, 6}

а) 1 способ: R ={(2, 1), (4, 2), (6, 3)}; R ={(х, у)| х, уÎ А; х=2у}.

2 – графический. 3 – с помощью графа:

       
 
   
 

 


R

 

4 – в виде таблицы:

х 2 4 6
у 1 2 3

 

б) 1 способ: Q={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (4, 2), (6, 2), (6, 3)}

Q={(х, у)| х, уÎ А; х = у× к; кÎN}.

2 способ: графический 3 способ: с помощью графа:

       
 
   
 


0Б. Отношение задано таблицей:

 

х
у -1 -1 -1

 

Постройте граф и график отношения R, укажите его область определениях и множество значений у. Найдите R(0), R(1), R-1(1), R-1(2).

Решение:

график отношения R график отношения R

       
 
   
 


R(0) ={1, - 1, 2},

R(1) ={-1, 1, 2},

R-1(1) ={0, 1, 2},

R-1(2) ={0, 1}

Область определения Х ={0, 1, 2}

Множество значений У={-1, 1, 2}

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания III уровня)

 

1А. На множестве Х={2, 3, 4, 6, 8, 9} задано отношение R: «Число х кратно числу у», где х, уÎХ. Постройте граф и график отношений R. Сформулируйте обратное и противоположное отношения, постройте их граф и график .

 

1Б. На множестве Х={а, в, с, d} заданы графики отношений

Р={(а, а), (а, в), (а, с), (с, с), (d, d)};

R={(в, а), (а, в), (в, с), (с, в), (в, d), (d, в), (с, d), (d, с)};

S={(а, а), (в, в), (с, с), (d, d), (в, с), (с, в), (с, d), (d, с)}.

Какие из данных отношений являются:

а) рефлексивными; б) симметричными; в) транзитивными.

 

2А. Бинарное отношение R задано на множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6} графом, показаным на рисунке. Задайте это отношение характеристическим свойством. Запишите график отношения R. Назовите его область определения и множество значений. Постройте графы отношений, обратного и противоположного отношению R. Укажите характеристические свойства отношений R-1 и .

 

 

1

2 4

5 6

 

2Б. На множестве прямых плоскости задано отношение S перпендикулярности прямых. Обладает ли это отношение свойством рефлексивности, свойством транзитивности? Ответ обоснуйте.

 

3А. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение R: «Число х меньше числа у», где х, уÎХ. Постройте граф и график отношения R. Сформулируйте и постройте граф и график обратного и противоположного отношений.

 

3Б. На множестве Х={2, 4, 6, 8} задано отношение R:«х≤у», х, уÎХ. Запишите график отношения R. Постройте его граф. Обладает ли отношение R свойством рефлексивности, симметричности, транзитивности? Как это выражается на графе?

 

4А. На рисунке показан график отношения Т, заданного на множестве {-3, -2, -1, 1, 2}. Запишите множество элементов, принадлежащих отношению Т. Укажите его характеристическое свойство. Постройте граф отношения Т. Назовите характеристические свойства отношений и Т-1, запишите их графики.

у

• 3

• • 2 •

• •1 • •

-3 -2 -1 0 1 2 3 х

• • •

• -2

 

4Б. Известно, что отношение К, заданное на множестве Х={3, 4, 5}, рефлексивно и транзитивно. Какое из следующих множеств задает отношение К: а) {(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 5)}; б) {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}. Объясните, почему.

 

5А. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение S: «Число х предшествует числу у в натуральном ряду», х, уÎХ. Постройте граф и график отношений R. Сформируйте и постройте граф и график обратного и противоположного отношений.

5Б. На множестве Х={0, 1, 2, 3} задано отношение

S={(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 1), (1, 2), (0, 2), (1, 0), (2, 1), (2, 0)}.

Определите свойства отношения S и постройте его график. Как отражаются свойства отношения на его графике?

0А. На множестве Х={х|хÎN, х≤4} задано отношение S: «Число х меньше числа у», х, уÎХ. Постройте граф и график отношений S. Сформулируйте обратное и противоположное отношения и постройте их граф и график.

Решение: Х={1, 2, 3, 4}. S={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

S-1: «Число у больше числа х» - обратное соответствие

       
 
   
 


S-1={(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}

       
   
 
 

 


: «Число х больше либо равно числа у» - противоположное соответствие.

={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}.

 

       
   
 

 


0Б. На множестве Х={1, 3, 5, 7, 9} задано отношение R: «Число х больше числа у на 2», где х, уÎХ. Запишите график отношения R. Постройте его график и граф. Обладает ли отношение R свойствами рефлексивности, симметричности? Как это определить по графу? По графику?

Решение: Г={(3, 1), (5,3), (7, 5), (9, 7)} – график отношения R.

 
 


Отношение R не обладает свойством рефлексивности. Т.к. любой элемент из множества Х, не находится в отношении R с самим собой, а именно: не существует числа, которое было бы на 2 больше самого себя. На графе нет петель. График отношения R не лежит на биссектрисе 1 и 3 координатных углов.

Отношение R, заданное на множестве Х, не обладает свойством симметричности, т.к. для любого элемента из множества Х из того, что х находится в отношении R с у не следует, что у находится в отношении R с х (хRу Þ уRх) – «л.» Т.е. если число у больше числа х на 2, то не верно, что число у больше числа х на 2. На графе стрелки между любыми двумя элементами идут болько в одном направлении. График отношения R не симметричен относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов.

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания IV уровня)

 

1А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а равно в» (в множестве треугольников);

б) «а меньше или равно в» (в множестве Z);

в) «а является собственным подмножеством в»

(в множестве геометрических фигур).

 

1Б. В множестве учащихся класса выделены подмножества отличников, спортсменов и мальчиков. Можно ли сказать, что множество учащихся разбито на эти три подмножества? Почему?

 

2А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а концентрично в» (в множестве окружностей на плоскости);

б) «а следует за в» (в множестве N);

в) «а является дополнением в до прямоугольника»

(в множестве геометрических фигур).

 

2Б. На плоскости проведена прямая l. Можно ли сказать, что множество всех прямых плоскости разбивается на три класса: параллельные l, перпендикулярные l и пересекающие l? Почему?

 

3А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а равно в» (в множестве Q);

б) «а является подмножеством в»

(в множестве геометрических фигур);

в) «а кратно в» (в множестве N).

 

3Б. Можно ли разбить множество треугольников на равнобедренные, разносторонние, равносторонние? Ответ обоснуйте.

 

4А. На множестве людей заданы отношения:

а) «а сестра в»;

б) «а имеет тот же цвет глаз, что и в»;

в) «а на 4 см выше, чем в».

Выясните свойства этих отношений. Назовите отношения эквивалентности и порядка.

 

4Б. На плоскости проведена окружность. Можно ли разбить множество всех окружностей на два класса: касающихся данной окружности и пересекающихся с ней. Завершите классификацию окружностей.

 

5А. На множестве людей заданы отношения:

а) «а начальник в»;

б) «а друг в»;

в) «а родился в том же году, что и в».

Выясните свойства отношений. Назовите отношения эквивалентности и порядка.

 

5Б. Можно ли разбить множество целых чисел на четные и нечетные? Ответ обоснуйте.

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания V уровня)

 

1А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) (х–у)M3; б) х22; в) |х|<|у|.

 

1Б. На рисунке с плотными стрелками обозначен граф отношения «а брат в», штриховыми – граф отношения «а сестра в». некоторые стрелки пропущены. Восстановите их. Кто из детей мальчик, кто – девочка?

А Б Г Д З

Ж И

 

В Е К

 

2А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) х: у=4; б) |х|+|у|= 3; в) х33.

 

 

2Б. На рисунке изображен граф отношения «а дед в». Кем приходились друг другу отец и мать d?

 

в

а d

с

 

3А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) |х|+|у|≠4; б) х≠у; в) (х2–у2) M4.

 

3Б. На рисунке изображен граф отношения «больше, чем» в множестве числовых выражений. Подберите выражения, которые можно поставить в прямоугольники. Проиллюстрируйте, что отношение «больше, чем» транзитивно.

 
 

 

 


4А. Какие из отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности? Для отношений эквивалентности укажите классы эквивалентности: а) Х=Z, (х-у) M3; б) Х=N, (х+у) M2; в) Х=Z, х22.

 

4Б. Даны графы отношения «меньше, чем». Какое из чисел А, В, С, Д самое большое? Какое самое маленькое? Придайте А, В, С и Д подходящие значения.

 

а) б)

А А

Д В Д В

               
     
 
   


С С

 

5А. Какие из отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности? Для отношений эквивалентности укажите классы эквивалентности: а) Х=N, (х-у) M3; б) Х= Nо, (х–у) M3 или (у–х) M3; в) Х=R, х–у=2.

 

5Б. Дан граф отношения «больше, чем». Точками изображены все элементы рассматриваемого множества, но один элемент t – неизвестен. Определите t, если: а) tÎN, б) tÎR.

8 5

 

 


2 t

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Виленкин Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин, А. М. Пышкало, В. Б. Рождественская [и др.] – М. : Просвещение, 1977. – 352 с.

2. Задачник-практикум по математике. / Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лав-рова [и др.] ; под ред. Н. Я. Виленкина. – М. : Просвещение, 1977. – 205 с.

3. Кожух І. Р. Матэматыка / І. Р. Кожух. – Мінск : Вышэйшая школа, 1993. – 350 с.

4. Кожух І. Р. Зборнік задач па матэматыцы : вучэб. дапам. для пед. ВНУ / І. Р. Кожух. – Мінск : Вышэйшая школа, 1994. – 162 с.

5. Лаврова Н. Н. Задачник-практикум по математике / Н. Н. Лаврова, Л. П. Стойлова. – М. : Просвещение, 1985. – 180 с.

6. Сендер А. Н. Методология формирования понятия о числе в начальном курсе математики / А. Н. Сендер. – Брест : БрГУ, 2003. – 164 с.

7. Стойлова Л. П. Математика: В 2 ч. / Л. П. Стойлова, Н. Я. Вилен-кин, Н. Н. Лаврова. – М. : Просвещение, 1990. Ч. 1. – 173 с.

 

Онискевич Татьяна Сергеевна

 

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1161. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.024 сек.) русская версия | украинская версия