Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение




1. = (3 – 4i) + (–5 +2i) = (3 – 5) + i (–4 + 2) = –2 – 2i.

2. = (3 – 4i) – (–5 – 2i) = (3 – (–5)) + i (–4 – (–2)) = 8 – 2i.

3. = (3 – 4i)(–5 +2i) = 3×(–5) + (–4i)×(–5) + 3×2i + (–4i)×(2i) =
= –15 + 20i + 6i – 8i2 = –7 + 26i.

4.

.

 

Пример 2. Найти действительную и мнимую части числа:

.

Решение. Будем выполнять преобразования последовательно.

1. (–2 + 4i)×(3 – i) = –6 + 12i + 2i – 4i2 = –6 + 14i + 4 = –2 + 14i.

2. (–2 – 2i)2 = (–2)2 + 2×(–2)(–2i) + (–2i)2= 4 + 8i + 4i2 = 8i.

3. .

4. i18 = i16 × i2 = (i4)4 × i2 = 1 × (–1)= –1.

5. .

Ответ: .


Пример 3. Найти x и y и записать комплексное число z, если

(2x + 3i)(–1 + i) – (2x + iy)(–3i) = 4 + 2i.

Решение. Преобразуем левую часть:

(2x + 3i)(–1 + i) – (2x + iy)(–3i) =

= –2x + 3i + 2xi + 3i2 + 6xi + 3yi2 =

= –2x – 3i + 2xi – 3 + 6xi –3y =

= (–2x – 3y –3) + i(8x – 3).

Получим: (–2x – 3y – 3) + i(8x – 3) = 4 + 2i.

Используя равенство комплексных чисел, запишем систему уравнений:

.

 

Пример 4. Решить уравнение z2 – 2z + 4 = 0.

Решение. т.к. i2 = –1, а , имеем , .

 

1.5.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

,

где r – модуль комплексного числа z и обозначается | z |,

,

 
 

угол j называется аргументом числа z и обозначается Argz. Из значений j = argz выделяется главное значение argz, удовлетво-ряющее условию .

Пример 5. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа: z = 3; z = 2.

Решение. Чтобы представить в тригонометрической форме комплекс­ное число, надо:

1) построить точку на комплексной плоскости, соответствующую данному комплексному числу;

2) провести радиус-вектор этой точки;

3) найти модуль комплексного числа z;

4) найти аргумент числа z.

При вычислении аргумента комплексного числа z необходимо учитывать четверть, в которой лежит точка z.

1) Рассмотрим комплексное число z1 = 1 + i. На комплексной плоскос-ти построим точку М1 с координатами (1;1), соответствующую этому числу, проведем радиус-вектор и отметим угол j1.

 

2) Рассмотрим z2 = –1 + i.

 

3) Рассмотрим z3 = –1 – i.

 

4) Рассмотрим z4 = 1 – i.

5) Рассмотрим z5 = 3 = 3 + 0i.

6) Рассмотрим z6 = – 3 = –3 + 0i.

.

 

7) Рассмотрим z7 = 2i = 0 + 2i.

.

8) Рассмотрим z8 = – 2i = 0 – 2i.

.

 

 

1.5.4. Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме

Над комплексными числами в тригонометрической форме удобно выполнять следующие действия: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Пусть комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

.

Тогда модуль произведения этих числе равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей:

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

Если , то . Эта формула называется формулой Муавра.

Пусть n – целое положительное число, а . Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n значений, которые могут быть найдены по формуле:

,

где k = 0, 1, ¼, n – 1. Если k давать n, (n + 1), ¼, значения, то будут повторяться значения корня при k = 0, 1, ¼, n – 1.

 

1.2.5. Показательная форма комплексного числа

По формуле Эйлера . Следовательно, всякое комплексное число можно еще представить в показательной форме. В этом случае оно имеет следующий вид:

.

Пусть комплексные числа заданы в показательной форме:

, .

Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , k = 0, 1, 2 ¼, (n – 1) × V.

 

Пример 6. Комплексные числа z1 = –2 + 2i, представить в тригонометрической форме. Найти:

1) 2) 3) (z1)8; 4) .

Решение. Представим z1= –2 + 2i в тригонометрической форме:

 

.

Представим в тригонометрической форме:

 

1) Найдем z = z 1 × z 2.

;

;

;

.

2)

3)

4)

, k = 0, 1, 2.

Получаем три значения корня:

k1 = 0, ;

k2 = 1,

k3 = 2,

Ответ каждого примера можно записать в показательной форме:

1) z1 × z 2 =

2)

3)

4) .

КОНТРОЛЬНая РАБОТа №2







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1379. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.026 сек.) русская версия | украинская версия