Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предел дробно-рациональной функции




Если то

если , (39)

т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль.

 

Пример 2. Найти .

Решение. В данном случае мы имеем дробно-рациональную функцию.

Прежде чем применить формулу (39), надо проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х = 3. Проверяем:

,

.

 

Пример 3. Найти .

Решение. Найдем значение знаменателя дроби при х = 1, имеем:

.

Используем формулу (39).

.

 

Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком слу­чае нахождение предела функции требует специального исследования.

Путем рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно записать часто встречающиеся пределы (постоянная а > 0):

1. .

2. .

3. .

4. .

Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами.

Раскрытие неопределенности вида

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отно­шением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х, а затем перейти к пределу.

Пример 4. Найти .

Решение. Подставив непосредственно то значение х, к которому оно стремится, видим, что имеем случай .

Делим числитель и знаменатель дроби на х3 (наивысшая степень х), находим .

При х ® ¥ , и являются бесконечно малыми. Следовательно, в числителе мы имеем число, близкое к 4, а в знаменателе – бесконечно малое, их отношение будет бесконечно большой величиной, т.е. предел равен ¥.

Пример 5. Найти .

Решение. При х ® ¥ имеем неопределенность . Делим числитель и знаменатель на наивысшую степень х, т.е. х 4.

.

Так как при х ® ¥ , и бесконечно малы, то их предел при х ® ¥ равен 0.

Пример 6. Найти .

Решение. .

Разобрав полученные результаты последних трех пределов, можно сформулировать следующие правила вычисления предела при х ® ¥ в случае :

1) предел частного двух многочленов при х ® ¥ равен , если степень числителя больше степени знаменателя.

2) предел частного двух многочленов при х ® ¥ равен 0, если степень числителя меньше степени знаменателя.

3) предел частного двух многочленов при х ® ¥ равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

Раскрытие неопределенности вида

Правило 1. Для того чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при х ® а числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разложить на простые множители, сократить на
(ха) и перейти к пределу.

Пример 7. Найти .

Решение. При х = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль, полу­чается неопределенность вида . Преобразуем данную функцию, разла­гая на множители числитель и знаменатель по формуле ах2 + + с =
= а(х х1)(х х2), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + + с = 0. Подставляя преобразованное выражение и сокращая на (х – 1) ¹ 0, получим:

Правило 2. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, когда предел числителя и знаменателя дроби при х ® а равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, сделать необходимые упрощения и перейти к пределу.

 

Пример 8. Найти .

Решение. При х = 3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на . Получаем:

Пример 9. Найти

Решение. При х = 0 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Избавимся от иррациональности в числителе, умножая числитель и знаменатель на :

 

Раскрытие неопределенности вида (¥ – ¥)

Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или путем преобразования функции к виду дроби.

Пример 10. Найти .

Решение. При х = 2 функция представляет разность двух положи-тельных бесконечно больших величин (случай (¥ – ¥)).

Произведем вычитание дробей и сделаем преобразования.

.

 

Пример 11. Найти .

Решение. При х ® ¥ выражение, стоящее в скобках, есть разность двух бесконечно больших величин. Умножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела, на выражение, сопряженное с , т.е. на . Получим:

При х ® ¥ знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, есть функция бесконечно большая (как сумма двух бесконечно больших величин), поэтому дробь есть величина бесконечно малая. Предел бесконечно малой величины равен нулю.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1953. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия