Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений




 

Пусть дана система

 

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам

 

,

 

,

 

где , ,

а якобиан

 

.

 

Начальные приближения и определяются приближенно (графически и т.п.).

Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.

Пример 4.1 Решить нелинейную систему уравнений в Mathcad с пятью верными знаками после запятой.

Преобразуем систему, выразив х из обоих уравнений.

 

 

 

Левые части уравнений исходной системы зададим в виде функций пользователя с двумя переменными.

 

 

Правые части преобразованной системы зададим в виде функций пользователя от переменной y. Построим их на графике.

 

 

 

 

 

  Точка пересечения кривых на графике лежит в прямоугольнике 1.5<x<1.75 ;1.1<y<1.3. За начальное приближение корней системы примем x=1.7 и y=1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисления с помощью встроенных функций Mathcadа

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Рис.4.1. Решение примера 4.1 в Mathcad

4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

 

(4.1)

 

с действительными левыми частями.

Можно записать систему в более компактном виде:

,

где , а .

Для решения системы будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено приближение на шаге p

,

где - поправки (погрешность корня).

Введем в рассмотрение матрицу Якоби системы функций относительно переменных :

Если эта матрица неособенная, т.е. , то поправка выражается следующим образом:

,

где - матрица, обратная матрице Якоби.

Таким образом, последовательные приближения находятся по формуле:

.

За нулевое приближение можно взять приближенное значение искомого корня.

 

Пример 4.2 Решить систему из примера 4.1

в Mathcad в векторной форме.

Левые части системы зададим векторной функцией

 

 

 

 

 

 

 

J(x,y) это якобиан системы

 

 

 

 

 

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

 

Рис.4.2. Решение примера 4.2 в Mathcad







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 2262. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия