Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод последовательного дифференцирования




 

Рассмотрим уравнение

 

(9.1)

 

с начальными условиями . Предположим, что искомое частное решение может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности :

Начальные условия непосредственно дают нам значения при . Значение найдем из уравнения (9.1), подставляя и используя начальные условия:

.

Значения последовательно определяются дифференцированием уравнения (9.1) и подстановкой , при .

Доказано, что если правая часть уравнения (9.1) в окрестности точки есть аналитическая функция своих аргументов, то при значениях x, достаточно близких к , существует единственное решение задачи Коши, которое разлагается в ряд Тейлора. Тогда частичная сумма этого ряда будет приближенным решением поставленной задачи.

Аналогично применяется метод последовательного дифференцирования и для решения систем дифференциальных уравнений.

 

Пример 9.1 Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения уравнения y''+0.1(y')2+(1+0.1x)y = 0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=2

 

Решение уравнения ищем в виде ряда

Непосредственно из начальных условий имеем y(0)=1, y'(0)=2

Разрешим уравнение относительно y'';

 

y''=-0.1(y')2-(1+0.1x)

 

используя начальные условия, получим

 

y''(0)=-0.1·4-1·1=-1.4

 

Дифференцируем по x обе части уравнения последовательно получим:

y'''=0.2 y'· y''-0.1(xy'+ y)- y' y'''(0)=-1.54

 

y(4)=-0.2(y' y'''+( y'')2)-0.1(xy''+2 y')- y'' y(4)(0)=1.224

 

y(5)= -0.2(y'· y(4)+3 y'' y''') -0.1(xy'''+3 y'')- y''' y(5)(0)=0.1768

 

y(6)(0)= -0.2(y'· y(5)+4 y'' y(4)+3(y''')2)-0.1(x y(4)+4 y''')- y(4) y(6)(0) =-0.7308

 

Искомое решение приближенно запишется в виде:

 

y(x)≈1+2x-0.7x2-0.2567x3+0.051x4+0.00147x5-0.00101x6

 

Пример 9.2. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) z=z(x) системы с начальными условиями y(0)=1 z(0)=0

 

Функции y(x) и z(x) ищем в виде степенных рядов

при х=0 из уравнений системы следует, что y(0)'=1, z(0)'=0

Дифференцируем по х уравнения системы.

Находим y''(0)=1, z''(0)=1

Продифференцируем по х уравнения системы еще раз.

y''' (0)=0, z'''(0)=3

Подставляя найденные значения производных в ряды, получим:

y(x)≈1+x-0.5x2, z(x)≈ 0.5x2-0.5x3







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1907. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия