Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры




1. Рассмотрим векторы пространства Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению

,

Покажем, что они образуют линейное подпространство в Rn. Пусть . Тогда

и для координат векторов и выполняются условия 1 и 2:

2. Рассмотрим подмножество симметричных матриц линейного пространства квадратных матриц n-го порядка. Покажем, что они образуют линейное подпространство. Пусть и симметричные матрицы. Матрицы и будут, очевидно, также симметричными, и, следовательно, данное подмножество является линейным подпространством.

Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений:

Размерность всякого линейного подпространства L пространства X не превосходит размерности самого пространства.

Если в подпространстве L пространства X задан базис , то его можно всегда дополнить векторами из X так, что система образует базис пространства X.

Координаты всякого вектора k-мерному подпространству n-мерного пространства X в любом базисе удовлетворяют некоторой системе линейных однородных уравнений

ранга n-k.

Определение. Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.

Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L(M), натянутой на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.

Определение. Суммой L двух подпространств L1 и L2 одного и того же пространства X называется множество векторов вида , где и . Обозначается .

Сумма линейных подпространств сама является линейным подпространством.

Определение. Пересечением L линейных подпространств L1 и L2 называется совокупность векторов, принадлежащих одновременно L1 и L2. Обозначается .

Пересечение линейных подпространств также является линейным подпространством.

Определение. Прямой суммой L двух подпространств L1 и L2 называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора. Обозначается .

Размерности суммы и пересечения подпространств L1 и L2 связаны между собой следующим соотношением

Примеры

1. Определим размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующие векторы, заданные своими координатами

, , , ,

Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе. Воспользуемся тем, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг

Ранг матрицы равен трем. Следовательно, . Базис образуют, например, следующие линейно независимые векторы .

2. Найдем систему линейных уравнений, которая задает линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов, заданных своими координатами в некотором базисе

, ,

Для решения задачи удобно найти сначала базис в . Аналогично предыдущей задаче убеждаемся, что базис образуют векторы и , например. Некоторыми векторами и достроим базис и до базиса всего пространства . В новом базисе любой вектор из L будет иметь координаты, удовлетворяющие системе уравнений

Остается перейти теперь к системе уравнений относительно старых координат вектора относительно базиса . Они будут связаны с новыми координатами формулами перехода

, ,

где – матрица перехода от к базису . Подставляя координаты векторов и , получим

Исключая и , окончательно получаем

3. Найти размерности и базисы суммы и пересечения линейных подпространств L1 и L2, натянутых на векторы, заданные своими координатами:

, ,

, ,

Нетрудно убедиться, что векторы , – базис в L1, а векторы , – базис в L2. Поэтому всякий вектор из L1 , а всякий вектор из L2 . Если , то . Таким образом, это линейная оболочка векторов . Аналогично первой задаче устанавливаем, что , а базис, например, . Пусть . Тогда

Остается найти базисный вектор в М. Пусть , тогда и . Значит, существуют такие числа и , что

Получаем для значений и , которые определяют общие для L1 и L2 векторы, систему уравнений, которая в координатной форме имеет вид

Решая эту систему, получим , , , где - произвольно. Поэтому всякий вектор из М имеет вид

Вектор можно принять за базис в .

Адачи

Доказать, что следующие системы векторов из Rn образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис:

1. Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координата равны между собой.

2. Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.

3. Все n-мерные векторы вида , где a и b — любые числа.

4. Показать, что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса.

5. Показать, что решение системы линейных однородных уравне­ний с n неизвестными ранга K образуют подпространство Rn размерности .

6. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства Rn на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.

7. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линейных подпространств: L1 — заданного уравнением и L2, заданного системой уравнений .

8. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов, заданных своими координатами

, , , ,

9. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:

, , ,

Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L1, натянутого на векторы и L2, натянутого на векторы

10.

, , ,

 

 

11.

, , , , ,

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов и

12.

, , , , ,

13.

, , , , ,

14. Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства Rn, координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений

Показать, что если к каждому вектору подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор, то получится линейное многообразие.







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1662. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.181 сек.) русская версия | украинская версия