Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры. 1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L




1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы . Все векторы заданы координатами относительно ортонормированного базиса.

, , ,

Нетрудно убедиться, что и что за базис можно принять векторы и . Нам будет удобно перейти к ортонормированному базису в L. Применяя процедуру ортогонализации к векторам и , получим ортонормированный базис в L:

,

Заметьте, что векторы и линейно выражаются через и и, значит, также принадлежат L. Имеем теперь

2. Требуется найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданной системой уравнений

Расстояние между точкой и множеством L определится следующим образом

Для вычисления расстояния удобно перейти к параметрическому уравнению плоскости. Имеем и поэтому всякий вектор представляется в виде

где — фиксированный радиус-вектор точки плоскости; и — базис направляющего линейного подпространства, которое задается соответствующей однородной системой. Решая уравнение, получим, например,

, ,

Затем

Векторы и принадлежат направляющему подпространству M плоскости L. Вектор . Так как , а , то

Правая часть этого неравенства и есть искомое расстояние. Осталось вычислить вектор и найти его норму. Проделав для этого аналогичные вычисления и вычислив длину вектора, получим, что .

3. Пусть — ортонормированная система векторов евклидова пространства En. Нужно доказать, что для любого вектора имеет место неравенство Бесселя

с равенством тогда и только тогда, когда , т.е. векторы образуют ортонормированный базис в En.

Так как — ортонормированная система, то ее всегда можно векторами достроить до ортонормированного базиса в En. Разложим вектор по этому базису. Имеем

Далее,

или

С равенством тогда и только тогда, когда . Исключение составляют случаи, когда или когда принадлежит линейной оболочке векторов .

Задачи

1. Показать, что в пространстве Rn скалярное произведение векторов и может быть определено выражением

где .

2. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:

а)

, ,

б)

, , ,

3. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов до ортонормированного базиса , .

4. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:

, ,

5. Линейное подпространство L задано уравнениями

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение .

6. Показать, что задание линейного подпространства L пространства En и его ортогонального дополнения в ортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства.

7. Доказать, что

Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L.

8. , а L натянуто на векторы

; ,

9. , а L задано системой уравнений

10. Найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданного системой уравнений

11. Найти расстояние между двумя плоскостями и , где

, , ,

, ,

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974. — 400 с.

2. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.

3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: «Наука», 1970. — 355 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Линейные пространства. Определение 3

1.1. Задачи 4

2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора 5

2.1. Задачи 10

3. Подпространства линейного пространства 11

3.1. Задачи 16

4. Точечно-векторное аффинное пространство 19

4.1.Система координат в пространстве 19

4.2. Прямая и плоскость в 20

4.3. Задачи 23

5. Евклидовы и унитарные пространства 25

5.1.Ортонормированный базис евклидова и унитарного

пространств 27

5.2.Ортогональное дополнение 30

5.3. Проектирование вектора на подпространства 31

5.4. Задачи 35

Литература 37

 

 







Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1255. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия