Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1.Является ли данная функция а) полуметрикой;




 

1.Является ли данная функция а) полуметрикой;

б) метрикой на данном множестве Х ?

 

Пример 1. - пространство интегрируемых по мере Лебега функций на отрезке [a,b], .

Решение. Проверим выполнение аксиом полуметрики (метрики). Справедливость аксиом ) и 2) очевидна. С другой стороны, если

,

то в силу одного из свойств интеграла Лебега (какого?) отсюда следует лишь, что п. в. (относительно меры Лебега), а потому свойство 1) не имеет места. Справедливость свойства 3) вытекает из следующей цепочки равенств и неравенств:

Таким образом, функция является полуметрикой, но не является метрикой.

 

2. Проверить, сходится ли заданная последовательность xn точек метрического пространства X к точке a.

Пример 1. .

 

Решение. Заметим, что | |. Так как при всех имеем

при ,

то при . Значит, xn сходится к a в .

Пример 2. .

 

Решение. Рассмотрим . Обозначим функцию через и найдем наибольшее значение функции на отрезке . Имеем , , если или , причем , ,

Значит(по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке),

,

а потому xn сходится кточке a в пространстве .

 

Пример 3. xn = , .

 

Решение. Имеем

при .

Так как не стремится к нулю, то xn не сходится к a в l3.

 

Пример 4. xn = , , .

Решение. Имеем

при .

Значит, xn сходится к a в l2.

Пример 5. .

Решение. Имеем

 

.

Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Введем обозначение . Функция является интегрируемой на для любого , и

.

Кроме того, .Значит, по теореме Б. Леви

.

Следовательно, xn сходится к a в .

 

Пример 6. , , .

 

Решение. Имеем

при (мы воспользовались тем, что ~ при ). Значит, xn сходится к a в .

 

3. Выяснить, является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности xn в метрическом пространстве X?

Пример 1. – пространство непрерывных функцийс метрикой .

Условие: последовательность xn(t) поточечно сходится к непрерывной функции a(t).

 

Решение. Не нарушая общности, можем считать, что . Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным. Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность xn(t), заданную на графически (рисунок 6):

Рисунок 6 – График функции xn(t)

 

Последовательность xn сходится к функции поточечно на (почему?), но

,

то есть нестремится к нулю. Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности xn в метрическом пространстве .

Теперь допустим, что в , то есть при . Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная сходимость xn к a. Рассмотримпоследовательность и функцию . Имеем

при .

Значит, в . Но последовательность не сходится к поточечно, так как при . Таким образом, данное условие не является и необходимым для сходимости последовательности xn в метрическом пространстве .

 

Пример 2. .

Условие: , где .

 

Решение. Положим . Данное условие означает, что при . Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности xn к а в пространстве . Поскольку при выполнении этого условия при достаточно больших n, то при таких n и при всех k имеем . Поэтому при этих n и при всех k. Значит,

при , а это означает, что . Следовательно, в . Достаточность доказана.

Теперь покажем, что условие не является необходимым. Рассмотрим последовательность точек из и точку из . У нас 0 при (остаток сходящегося ряда стремится к нулю). Значит, в . Но в этом примере (сравните с гармоническим рядом), а потому данное условие при не выполняется. Наконец, если бы оно выполнялось для точки , то по доказанному в первой части решения было бы , что противоречит единственности предела.

 

4.Найти предел последовательности xn в метрическом пространстве X, если он существует.

 

Пример 1. .

 

Решение. 1 способ. Допустим, xn сходится к некоторой точке a в пространстве . Так как для любого k

при ,

то имеем и покоординатную сходимость xn к a. Но покоординатно xn сходится к точке

(почему?), которая не принадлежит пространству (ряд расходится, по необходимому признаку). Мы пришли к противоречию. Значит, xn не сходится в .

2 способ. Так как

при ,

то последовательность xn не является фундаментальной в . Следовательно, xn не сходится в .

 

Пример 2. , .

 

Решение. 1 способ. Допустим, xn сходится к некоторому элементу a в . Так как при для любого k, то имеем покоординатную сходимость xn к a. Но покоординатно xn сходится к последовательности

,

для которой при (почему?). Следовательно, xn не сходится к a в . Противоречие.

2 способ. Заметим, что последовательность xn не является фунда-ментальной в . Действительно,

xn+1 =,

причем при . Так как xn не фундаментальна, то она и не сходится в .







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1519. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия