Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач




1 Докажите, что функция является простой, а затем, пользуясь определением интеграла от простой функции, вычислите .

Пример 1. Множество есть отрезок .

 

Решение. Легко подсчитать, что

(произведите эти подсчеты). Следовательно, график функции имеет вид

 

 

Рисунок 4График функции

 

Таким образом, каноническое представление этой функции есть

(объясните, почему). Поскольку индикатор измерим, когда (и только когда) измеримо множество А, то данная функция измерима, как линейная комбинация измеримых, а потому является простой, причем по определению

.

2 Для функции :

а) выяснить, является ли ограниченной;

б) найти меру Лебега множества ее точек разрыва;

в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;

г) выяснить, измерима ли ;

д) найти интеграл Лебега , если он существует.

 

Пример 1

Решение. 1) Поскольку функция не ограничена на множестве (докажите), то неограниченная функция.

Покажем, что множество точек разрыва функции есть отрезок , из которого удалена некоторая точка а.Пусть . Рассмотрим последовательность точек , такую, что при . Тогда , если , и , если .

С другой стороны, если мы возьмем последовательность точек , такую, что ,то будем иметь при . Следовательно, если , то не существует, а если , то существует

Резюмируя, получаем, что функция разрывна в тех и только тех точках , для которых . Но уравнение имеет единственное решение (докажите это, используя теорему о промежуточном значении и монотонность левой части). Таким образом, множество точек разрыва функции f есть , а, стало быть, мера множества точек разрыва функции равна 1.

3) Из результата пункта 1 следует, что функция не интегрируема по Риману на отрезке ..

Что касается несобственного интеграла, то он не существует, так как в силу критерия Лебега не существует риманов интеграл (см. определение несобственного интеграла от неограниченной функции, определенной на конечном промежутке).

4 Определение функции можно переписать в виде

(подумайте, почему). Поскольку измеримые функции образуют алгебру, а непрерывные функции и индикаторы измеримых множеств измеримы, из этого равенства следует, что функция f тоже измерима.

5 Так как , то

п. в.

Поэтому интеграл Лебега для функции по отрезку совпадает с интегралом Лебега (а потому и с интегралом Римана) для функции по этому отрезку. Следовательно,

.

 

3Доказатьсуществование и вычислить , где плоская мера Лебега, .

Пример 1.

Решение. Докажем, что - почти всюду на множестве . Действительно, , если , где

.

Далее, равенство равносильно , если , и , , если . Значит, множество N содержится в объединении счетного множества прямых . А так как для любой прямой l, то . Следовательно, существует интеграл

(мы восплользовались тем, что двойной интегрвал Римана функции g(x,y), если он существует, совпадает с интегралом от g(x,y) по плоской мере Лебега).


Тема 4







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 3552. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия