Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретико-множественный смысл разности

Хороший пример, побуждающий нас стремиться к позитивным взаимоотношениям, мы находим в Библии:

Одна из жен сынов пророческих с воплем говорила Елисею: раб твой, мой муж, умер. А ты знаешь, что раб твой боялся Господа. Теперь пришел заимодавец взять обоих детей моих в рабы себе. И сказал ей Елисей: что мне сделать тебе? скажи мне, что есть у тебя в доме? Она сказала: нет у рабы твоей ничего в доме, кроме сосуда с елеем. И сказал он: пойди попроси себе сосудов на стороне, у всех соседей твоих, сосудов порожних; набери не мало, и пойди, запри дверь за собою и за сыновьями твоими, и наливай во все эти сосуды; полные отставляй. И пошла от него, и заперла дверь за собой и за сыновьями своими. Они подавали ей, а она наливала. Когда наполнены были сосуды, она сказала сыну своему: подай мне еще сосуд. Он сказал ей: нет более сосудов. И остановилось масло. И пришла она, и пересказала человеку Божию. Он сказал: пойди, продай масло, и заплати долги твои; а что останется, тем будешь жить с сыновьями твоими.

4-я Царств 4:1-7

Внимательно рассмотрев этот отрывок, вы обнаружите следующее:

• Вдова одного из пророков была связана с Елисеем дружескими взаимоотношениями.

• Она добыла пустые сосуды благодаря своим хорошим взаимоотношениям с некоторыми соседями.

• Ее чудо прекратилось, когда закончились сосуды, потому что у нее не было хороших взаимоотношений с другими соседями. Если бы у этой вдовы было больше друзей, у нее оказалось бы больше сосудов.

Заметьте также, что:

• негативные взаимоотношения принесли долги в ее жизнь;

• негативные взаимоотношения чуть не отобрали у нее детей;

• с мудростью стройте ваши взаимоотношения!

 

Теоретико-множественный смысл разности

 

 

Разностью целых неотрицательных чисел а и bназывается число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n(A)=a, n(B)=b, B A, т.е. а - b = n(AB). Это обуславливается тем, что А=В (АВ), т.е. n(A)=n(B) + n(AB).

 

Докажем это. Так как по условию В – собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.

 

Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а – b = с ( ) b + c = a.

 

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пресекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB), откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а – b.

 

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А =А, АА= , то а – 0 = а и а – а =0.

 

Разность а – b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

 

Действие, при помощи которого находят разность а – b, называется вычитанием, число а – уменьшаемым, b – вычитаемым.

 

Используя определения, покажем, что 8 – 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множествоВ является подмножеством множества А. Например, А = {a, s, d, f, g, h, j, k}, B = {a, s, d, f, g}.

 

Найдем дополнение множества В до множества А: АВ = {h, j, k}. Получаем, что n(AB) = 3.

 

Следовательно, 8 – 5 = 3.

 

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач.Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

 

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы – на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья – не заштрихованные кружки – и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е. 4.

 

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В – берез, которое является подмножеством А, и множество С лип – оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

 

По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и B А. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {a, b, c}. Найдем дополнение множества А доВ: AB = {d, e, f, g} и n(AB) = 4.

 

Значит, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 – 3 = 4.

 

Следовательно, у школы росло 4 липы.

 

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.

 

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при а с имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при b c имеем, что(a+b)-c=a+(b-c); при a c и b c можно использовать любую из данных формул.

 

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и A B= , С А (рис.5).

 

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

 

Правая часть равенства имеет вид:

 

.

 

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно(a + b) – c = (a– c) + b,при условии, что а>c.

 

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

 

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

 

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид: . Левая часть равенства имеет вид: .

 

Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b, при условии, что а>c.

 

Правило вычитания разности из числа:чтобы вычесть из числа а разность b – c, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

 

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c и С В, В А (рис.6). Тогда а – (b – c) есть число элементов множества А(ВС), а число (a + c) – b есть число элементов множества . На рисунке 5 множество А(ВС) изображено штриховкой. Легко убедиться в том, что множество изобразится точно такой же областью.

 

Значит, А(ВС) = .

 

Следовательно, n(А(ВС)) = n( ) и а – (b – c) = (a + c) – b.

 

Правило вычитания числа из разности:чтобы из разности двух чисел вычесть третье число,достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а – b) – c = a – (b + c).Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

 

Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 – (5 + 6); б) (12 + 6) – 2?

 

Решение. а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 – (5 + 6) = (15 – 5) – 6 = 10 – 6 = 4.

 

Или 15 – (5 + 6) = (15 – 6) – 5 = 9 – 4 = 4.

 

Или 15 – (5 + 6) = 15 – 11= 4.

 

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) – 2 = (12 – 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

 

Или (12 + 6) – 2 = 12 + (6 – 2) = 12 + 4 = 16.

 

Или (12 + 6) – 2 = 18 – 2 = 16.

В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В).

Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество АВ тоже конечно, причем выполняется равенство п(АВ) = п(А) -п(В).

Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке.

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А) = n(В) +n(АВ), откуда, по определе­нию вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(АВ) =n(А) - n(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = n(А), b = n(В) и В Ì А: а - b = n(А) - n(В) = n (АВ), если В Ì А.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А =А, АА =0,то а-0=а и а-а=0.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычита­ния: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревь­ев; множество Вберез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В Ì А, то n(С) = n(АВ) = = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель дан­ной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила:

«Если а, b , с - натуральные числа и а > с, то (а + b ) - с = (а - с) + b».

Пусть А, В и С - такие множества, что n(А) = а, n(В) = b и А Ç В = Æ, С Ì А (См. рисунок).

Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А È В)С = (АС) È В. Но n((А ÈВ)С) = = n(А È В) - n(С) = (а + b) - с, а n((АС) ÈВ) = n(АС) + n(В) = (а - с) + b. И следовательно, (а + b ) - с = (а - с) + b, если а > с.

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») есте­ственным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а = n(А), b = n(В) и установлено, что а < b, то, исходя из тео­ретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множе­ству А, и непустое множество ВВ1. Если число элементов в множестве ВВ1 обозначить через с (с ¹ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: n(В) = n(В) + n(ВВ1) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»).

Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что если а = п (А), b = п(В), то в множест­ве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.

Так как с = n(ВВ1), где В1 Ì В, п(В) = b, п(В1 ) = а, то, по определению разности, с = а - b. Следовательно,чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вы­честь меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента (См. рис.).

А

 
 

В1 ВВ1

В

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В1) + n(ВВ1) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

Рассмотрим еще одну задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания.

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и мно­жестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух (См. рис.).

А

 
 

А1 АА1

В

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, n(В) = n(А1) = = n(А) - n(А А1) = 5 - 2. Так как 5 - 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.

 

Учебник Моро

1класс 1 часть: стр 80-85

Стр 105

1 класс 2 часть :стр 8

Более широко начинает рассматриваться вычитание :стр 29

Табличное вычетание :стр 80

 

2 класс 1 часть :стр 26

Стр 87

2 класс 2 часть : стр 3 (письменное вычесление)

3 класс 1 часть: стр 3 (продолжение)

3 класс 2 часть: стр 65

 




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Не позволяйте мнению других людей формировать ваше представление о самом себе | ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 1053. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия