Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Расчет пластины на изгиб методом конечных разностей




-на пластинку наносится квадратная сетка с шагом λ=1м;

- учитывая симметрию нумеруются узлы сетки (рис.2)

- неизвестны прогибы в узлах 1,2,3,4 в точках на контуре (линии AB,CD,BC,AD) и на оси косой симметрии (линия EF) прогибы известны – равны нулю

2. Составление системы уравнений.

Составляем уравнениe Софи Жермен

 

d4W/dx4+2d4W/dx2dy2+d4W/dy4=qz/D

 

в конечно разностном виде для внутренних узлов (1,2,3,4) используя шаблон (рис.3)

 
 

 


 

 

 
 
Рис.3

 


В=q*λ4/D - правая часть уравнения

Сосредоточенную силу в узле 3 заменяем распределенной нагрузкой в пределах шага сетки интенсивностью qz=P/λ2, следовательно, правая часть уравнения для узла 3 . ………….примет вид Рλ2/D

 

 

20W1-8(W2+W3)+2W4+W1=qz*λ4/D

20W2-8(W1+W4)+2W3+W2=qz*λ4/D

20W3-8(2W1+W4)+4W2-W3=P*λ2/D

20W4-8(2W2+W3)+4W1-W4=0

 

 
 

 

 


Проверяем симметрию матрицы коэффициентов: если уравнен. 3 и 4 домножить на 0,5 – матрица будет приведена к симметричному виду.

3. Решаем систему уравнений с помощью ЭВМ по стандартной программе

Результаты решения: прогибы в точках пластины W1=3.607/D, W2=3.435/D, W3=4.545/D, W4=4.047/D.

Проверка правильности полученного решения

 
 


 

 

Система уравнений решена правильно.

 

 

 
 

 

 


 

 

 
 
Рис.4

 


4. Вычисляем усилия в точках пластины.

Изгибающите моменты Мх, Му, крутящий момент Мху и поперечные силы Qx, Qy определяем используя конечно разностные шаблоны

 

Mx=-D(d2W/dx2+μd2W/dy2); My=-D(d2W/dx2+ μd2W/dy2);

       
   
 
 

 

 


-1,17 -1,23 1,23 1,17
3,74 4,23 -4,23 -3,74
3,75 5,36 -5,36 -3,75
3,74 4,23 -4,23 -3,74
-1,17 -1,23 1,23 1,17

 

 
 

 

 


 

 

Значения изгибающих моментов Му в точках пластины (кНм/м) Табл.2

 


-6,87 -7,21 7,21 6,87
3,38 3,31 -3,31 -3,38
1,83 2,73 -2,73 -1,83
3,38 3,31 -3,31 -3,38
-6,87 -7,21 7,21 6,87

 

 

       
 
 
   
Рис.6

 


w

 

 

 
 
определим значения крутящих моментов по шаблону

 


Mxy=-D(1- μ)d2W/dxdy

 

 

       
   
 
 
Например, для точки 1 : Mxy(1)=-D(1- μ)/4λ2*W4)=-0,83*4,047/4=-0,84 кНм/м.

 

   
1,68 0,94 -0,84 -1,89 -0,84 0,94 1,68
-1,68 -0,94 0,84 1,89 0,84 -0,94 -1,68
   

 

 

 
 

 


 

 

 
 
Рис.7

 


поперечные силы Qх .

 

       
   
 
 

 

 

  -3,607 3,435 7,214 3,435 -3,607  
Rx(b)=-8,42 3,22 -3,04 -6,45 -3,04 3,22  
Rx(a)=-5,78 3,46 -2,39 -6,92 -2,38 3,46  
Rx(b)=-8,42 3,22 -3,04 -6,45 -3,04 3,22  
  -3,607 3,435 7,214 3,435 -3,607  

           
   
 
   
Qy =-D d/dx*(d2W/dx+d2W/dx2 )+d2W/dy2.
 
 
Значения поперечных сил Qy (кН/м ) . Табл.5

 

 


w

  Ry(d)=--16,2 Ry(e)=1-7,4 Ry(f) Ry(e) Ry(d)  
-5,82 -7,07 7,07 5,82
5,82 7,07 -7,07 -5,82
  Ry(d)=-1-6,2 Ry(e)=--17,4 Ry(f) Ry(e) Ry(d)  

 

w

 

 
 

 


w

 

 

 
 

 

 


μ

 

 

 

               
 
 
   
Реакции опор в точках d,e (Ry) определим используя разрешающее уравнение для точек на контуре , где В=1/D*(2 λ3Ry(ij)
 
   
 
   
Например, для точки d 1/D*(2 λ3λ3*Ry(d))=-2(1+ μ)W2-2(7- μ)W2+ μW1+(4- μ)W1+2W4; отсюда   Ry(d)=1/2λ3*(3,34*3,435-13,66*3,435+ 0,17*3,607+3,83*3,607+2*4,047=-16,22кН/м
 
   
Реакции опор в точках a,b (Rx) определим используя разрешающее уравнение для точек на контуре , где В=1/D*(2 λ3Rx(ij)

 

 


 

 

 
 
Например, для точки d 1/D*(2λ3*Rx(d))=2(1+ μ)W2-2(7- μ)W2- μW4+(4- μ)W4+2W1; отсюда Rx(d)=1/2λ3*(3,34*3,435-13,66*3,435- 0,17*4,047+3,83*4,047+3,607=-8,43 кН/м

 


 

 

 
 
Например, (4 λ2Rугловое)/D= 2μW(2)- 2μW(2)+ 4(2-μ)W(2);   Следовательно, Rугловое=D/4 λ2*(1,83*4*3,435)=6,28 кН.    

 


РЕЗУЛЬТАТЫ ПОЛУЧЕННЫЕ ПО ПРОГРАММЕ EXCEL

 

Прогибы точек пластины ( множитель1/D)

 

  0 3,435 3,607 -3,607 -3,435
-3,435 3,435 3,607 -3,607 -3,435
-4,047 4,047 4,545 -4,545 -4,047
-3,435 3,435 3,607 -3,607 -3,435
  3,435 3,607 -3,607 -3,435

Изгибающие моменты силы Мх

 

-1,1679 -1,22638 1,22638 1,1679
3,74291 4,23273 -4,23273 -3,74291
3,75708 5,36192 -5,36192 -3,75708
3,74291 4,23273 -4,23273 -3,74291
    -1,1679 -1,22638 1,22638 1,1679
           
  Изгибающие моменты силы Му            
3,37771 3,31143 -3,31143 -3,37771
1,82733 2,73331 -2,73331 -1,82733
3,37771 3,31143 -3,31143 -3,37771
-6,87 -7,214 7,214 6,87

 

 

   
1,679505 0,943088 -0,83975 -1,88618 -0,83975 0,943088 1,679505
-1,67951 -0,94309 0,839753 1,886175 0,839753 -0,94309 -1,67951
   

 

    Поперечные силы Qx  
  -3,607 3,435 7,214 3,435 -3,607  
-8,42909 3,224 -3,043 -6,448 -3,043 3,224 -8,429
-5,78892 3,4595 -2,3865 -6,919 -2,3865 3,4595 -5,7889
-8,42909 3,224 -3,043 -6,448 -3,043 3,224 -4,2145
    -3,607 3,435 7,214 3,435 -3,607  

 

    Поперечные силы Qy  
  -16,2 -17,4 17,44 16,22  
-5,8215 -7,0665 7,0665 5,8215
-4,4E-16 -2,2E-16 2,22E-16 4,44E-16
5,8215 7,0665 -7,0665 -5,8215
  -16,2 -17,4 17,2 16,22  
             

 

  Опорные реакции    
6,28805 -16,2 -17,4 17,44 6,28805
-8,4291         -8,4291
-5,7889         -5,7889
-8,4291 -16,2 -17,4 17,44 -8,4291

 

 

Расчет пластины на изгиб методом конечных разностей

Построить эпюры прогибов и усилий для прямоугольной пластины с размерами в плане 6х4м (рис.1), загруженной поперечной нагрузкой Р=10кН, q=20 кНм . Условия опирания:стороны АD и ВС жестко защемлены, АВ и СD – шарнирно оперты Материал бетон марки М200 :Е=0,2*105 МПа, μ=0,17, цилиндрическая жесткость D=E*h3/12(1-μ2)=878,7 кНм.

 

 

 
 


 

       
   
λ
 
 


Решение







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 759. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2018 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия