Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение компактного пространства. Теорема Хаусдорфа




Определение 1. Метрическое пространство называется компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует сходящаяся подпоследовательность.

Предложение 1. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

Необходимость. Если содержит бесконечное множество точек пространства , то в нем можно взять счетное множество различных точек. По условию теоремы эта последовательность имеет подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке . Тогда точка и будет предельной для множества .

Достаточность. Пусть последовательность точек пространства . Обозначим через множество ее членов. Если множество конечно, то последовательность содержит подпоследовательность с совпадающими элементами (стационарную), которая сходится. Если же бесконечно, то у него есть предельная точка . Поэтому найдется целое число такое, что . Выберем затем такое число , что и , затем найдем такое целое число , что . Продолжая процесс, мы построим подпоследовательность такую, что . Отсюда следует, что построенная подпоследовательность сходится к . Предложение доказано.

Предложение 2. Компактное метрическое пространство полно.

Доказательство. Пусть - фундаментальная последовательность в компактном пространстве . У нее существует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . Тогда, согласно предложения 3 из второй главы, . Предложение доказано.

Обратное утверждение неверно. Прямая, с обычной метрикой – полно, но не компактно.

Определение 2. Метрическое пространство называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует фундаментальная подпоследовательность.

Из предложения 2 следует

Предложение 3. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно относительно компактно и полно.

Определение 3. Множество метрического пространства называется компактным, если у любой последовательности точек этого множества существует сходящаяся подпоследовательность.

Определение 4. Множество метрического пространства называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого множества существует фундаментальная подпоследовательность.

Предложение 4. Относительно компактное множество ограничено.

Докажем от противного. Пусть относительно компактное множество не ограничено. Возьмем любую его точку и положим . Поскольку не ограничено, то в нем найдется такая точка , что . Положим . Множество не может содержаться в шаре , поэтому в найдется точка такая, что . Полагаем и продолжаем этот процесс до бесконечности. В результате получим последовательность точек и возрастающую последовательность чисел .

При всех , по построению, выполняется неравенство

.

Отсюда при любых имеем

. (3.2)

Далее из неравенства треугольника

с учетом неравенства (3.2) и соотношений , получаем окончательно неравенство

. (3.3)

Как следует из определения, никакая подпоследовательность, выделенная из , не может быть фундаментальной. Полученное противоречие доказывает предложение.

Определение 5. Пусть и подмножество метрического пространства . Множество называется - сетью для множества , если для любой точки существует точка такая, что .

Геометрически это определение означает, что множество содержится в объединении шаров радиуса с центрами в точках множества .

Определение 6. Множество называется вполне ограниченным, если для любого в существует конечная - сеть для .

Вполне ограниченное множество может быть покрыто конечным числом шаров с произвольным заданным радиусом . Важное место занимает теорема.

Теорема 1(Хаусдорф). Метрическое пространство относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

Необходимость докажем от противного. Пусть для пространства при некотором не существует - сети. Возьмем произвольную точку . Множество , состоящее из одного элемента, не образует - сеть для . Поэтому найдется точка такая, что .

Множество также не образует - сеть для , следовательно, найдется , причем , . Продолжая этот процесс, мы построим последовательность такую, что

, , .

Из этой последовательности нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность, что противоречит относительной компактности .

Достаточность. Пусть вполне ограничено и - произвольная последовательность. Возьмем последовательность чисел , . Построим конечную - сеть для , т.е. покроем конечным числом шаров радиуса . В один из этих шаров попадет бесконечная подпоследовательность последовательности . Из членов этой подпоследовательности выберем с наименьшим номером. Далее построим конечную - сеть для . В один из построенных шаров попадет бесконечная подпоследовательность из . Выберем и элемент . Продолжая этот процесс бесконечно, мы построим подпоследовательность . При точки и принадлежат одному шару радиуса и с центром, например, в точке . Из неравенства треугольника имеем

, при ,

т.е. - фундаментальная последовательность. Теорема полностью доказана.

Из теоремы Хаусдорфа и предложения 3 следует следствие.

Следствие 1. Если пространство полно и вполне ограничено, то оно компактно.

Следствие 2. Множество является относительно компактным, если для любого существует относительно компактная - сеть.

Доказательство. Пусть - относительно компактная -сеть для . По теореме Хаусдорфа для существует конечная -сеть . Возьмем . Существует такая точка , что , а для существует точка такая, что . Тогда и, следовательно, множество является конечной - сетью для множества. Следствие доказано.

Определение 7. Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду плотное подмножество.

Следствие 3. Относительно компактное пространство сепарабельно.

Доказательство. Пусть , и множество является конечной - сетью для пространства . Множество счетно и в то же время всюду плотно в . Действительно, для любого и можно найти число такое, что , и точку такую, что . Таким образом, и ; множество всюду плотно в . Следствие доказано.

Предложение 5. Пусть дана последовательность непустых компактных множеств метрического пространства Тогда пересечение не пусто.

Доказательство. В каждом множестве выберем точку и построим последовательность . Она содержится в компактном множестве и поэтому из нее можно выделить подпоследовательность , которая сходится к некоторой точке .

При любом фиксированном , начиная с номера все члены последовательности принадлежат и замкнуто. Отсюда следует, что , но тогда . Предложение доказано.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 844. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия