Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула Бернулли




Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называют успехом) с одной и той же вероятностью Р(А) = р или произойти противоположное событие (такойисход называют неудачей) с вероятностью Р(А) =q= 1—р (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз находится по формуле Бернулли:

, m = 0, 1, 2, …, n.

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в п испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

а) менее m раз – равна :

б) более т раз — равна .

в) хотя бы один раз — равна ;

г) не менее m1 раз и не более m2 раз равна

Число m0 ( ) называется наивероятнейшим числом наступлений события А (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если для всех т = 0, 1, 2, …, n. Если вероятности р и q отличны отнуля, то число m0 определятся из двойного неравенства

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность наступления события А равна pi (числа pi, вообще говоря, разные), то вероятность того, что в этойсерии испытаний событие А наступит m раз, равна коэффициенту при m-й степени (т. е. при zm) многочлена

Функция при этом называется производящей функцией.

6.1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, чтошестерка выпадет:
а) два раза; б) не более восьми раз; в) хотя бы один раз.

О Проводится 10 независимых испытаний, Каждое испытание имеет два исхода: шестерка выпадет и шестерка не выпадет. Вероятность выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна 1/6, те. р = 1/6.Таки образом, мы имеем дело со схемой Бернулли. Для нахождения искомых вероятностей применим формулу Бернулли.

а)Здесь п = 10, т = 2, р = 1/6, q = 1— 1/6 = 5/6 .Отсюда

б) Искомая вероятность равна

Однако в этом случае проще найти вероятность противоположного события шестерка выпадет более 8 раз, т. е. выпадет 9 или 10 раз. Имеем:

Итак, вероятность того, что шестерка выпадет не более восьми раз, равна

в)Искомая вероятность равна Ее можно найти и так (что, конечно, гораздо сложнее):

или

6.2. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число вcхожих семян в партии из 240 семян.

О Наивероятнейшее число m0 всхожих семян находим из условия .

Поскольку п = 240, р = 0,7 и q = 0,3 то т.е. Отсюда следует, что m0 = 168.

6.3. Прибор состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятности отказов элементов за время t различны и соответственно равны: р1 = 0,1, р2 = 0,2, р3 = 0,3. Найти вероятности того, что за время t откажут:

а)все элементы; б) два элемента; в) один элемент, г) ноль элементов.

О Так как р1 = 0,1, р2 = 0,2, р3 = 0,3, то вероятности того, что элементы не откажут, соответственно равны: q1= 0,9, q2 = 0,8, q3 = 0,7. Составим производящую функцию:

Отсюда следует, что:

а) Р3(3) = 0,006; б) Р3(2) = 0,092;

в) Р3(1) = 0,398; г) Р3(0) = 0,504.

6.4. По мишени произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность п попаданий в мишень, где n = 0, 1, 2, 3.

6.5. Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения неменее 80% правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?

6.6.Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

6.7. В ящике находится 70% стандартных и 30% нестандартных де талей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу деталей не более одной окажется нестандартными.

6.8. Корабль выходит из строя, если получит не менее 5 попадания в надводную часть или 2 попадания в подводную часть. Найти вероятность выхода из строя корабля при 5 попаданиях, если вероятности попадания в надводную и подводную части при попадании в корабль относятся как семь к трем.

6.9. В семье 6 детей. Найти вероятность того, что в данной семье не менее двух мальчиков, но не более четырех. Считать вероятности рождения мальчика идевочки равными 0,5.

6.10. В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года равна 0,7. Найти:

а) вероятность того что в течение года придется заменить 2 лампочки;

б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года.

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1688. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия