Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.




Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину , составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятность попадания X в частичные интервалы (xi, xi+1) по формуле

4. Вычислить теоретические частоты:

,

где - объем выборки.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где s – число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s – число интервалов, оставшихся после объединения.

 

Задача 648. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 1 (во второй строке указаны интервалы времени в часах, в третьей строке – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала).

 

Таблица 6

№ п/п
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30

 

Составим гистограмму.

 

 

1. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):

2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид

3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле

4. Найдем теоретические частоты: , где - вероятность попадания X в i-й интервал.

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу, причем объединим малочисленные частоты (4+2+1=7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46)

 

 

Таблица 7

126,42 6,58 43,2964 0,3425
46,52 -1,52 2,3104 0,0497
17,10 -2,10 4,4100 0,2579
9,46 -2,46 6,0516 0,6397
Σ      

Замечание: Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала, получим один интервал (15,30). В этом случае теоретическая частота

совпадает с суммой теоретических частот (9,46).

По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы находим критические области χкр2(0,05;2)=6,0.

Так как – то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.


Задача

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х c эмпирическим распределением выборки объема n=100, приведенным в табл. 8

Номер интервала i Граница интервала Частота ni
xi xi+1
  n=100

 

Составим гистограмму

 

 

Решение

1. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианта xi* среднее арифметическое концов интервала: . В итоге получим распределение:

xi* 5,5 10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5
ni

 

Вычислив выкладки по методу произведений найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , σ*=7,28.

Для вычисления составим таблицу и вычислим по формулам

Таблица 9

Границы Частота, ni ni· xi* ni2 ni2· xi*
xi xi+1
5,5
10,5
15,5 232,5 3487,5
20,5
25,5
30,5
35,5 248,5 1739,5
Σ        

2. Найдем интервалы учитывая что ; . Для этого составим расчетную таблицу (левый конец первого интервала примем равным -∞, а правый конец последнего ∞).

Таблица 10

i Границы Границы интервала
- -12,7 -∞ -1,74
-12,7 -7,7 -1,74 -1,06
-7,7 -2,7 -1,06 -0,37
-2,7 2,3 -0,37 0,32
2,3 7,3 0,32 1,00
7,3 12,3 1,00 1,69
12,3 - 1,69 -∞

3. Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты

Для этого составим расчетную таблицу №2.

 

Таблица №11

i Границы интервала
- -1,74 -0,5000 -0,4591 0,0409 4,09
-1,74 -1,06 -0,4591 -0,3554 0,1037 10,37
Продолжение таблицы 11
-1,06 -0,37 -0,3554 -0,1443 0,2111 21,11
-0,37 0,32 -0,1443 0,1255 0,2698 26,98
0,32 1,00 0,1255 0,3413 0,2158 21,58
1,00 1,69 0,3413 0,4545 0,1132 11,32
1,69 - 0,4545 0,5000 0,0455 4,55
Σ        
                 

 

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерии Пирсона:

а) Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу №3.

Таблица №12

i
4,09 1,91 3,6481 0,8920 8,8019
10,37 -2,37 5,6169 0,5416 6,1716
21,11 -6,11 37,3321 1,7684 10,6584
26,98 13,02 169,5204 6,2833 59,3052
21,58 -5,58 31,1364 1,4428 11,8628
11,32 -3,32 11,0224 0,9737 5,6537
4,55 2,45 6,0025 1,3192 10,7692
Σ       113,22

Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле

Контроль: Вычисления произведены правильно.

5) По таблице критических точек распределения x2 по уравнению значимости и числу степеней свободы (s-число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области .

Так как 13,33>9,5 ( > ) – отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности . Данные наблюдений не согласуются с гипотезой.







Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 2247. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия