Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

МАГНЕТИЗМ И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ




1. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи I1и I2 силой по 5 А. Между проводниками на рас­стоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник, сила тока Iз в котором равна 5 А (рис. 7). Радиус кольца 20 см. Опреде­лить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого то­ками в центре кольцевого проводника.

Дано: I1 = I2 = I3 = I = 5 А; r1= 0,3 м; r2 = 0,2 м; r3 = 0,2 м.

Найти: В, Н.

Решение. В соответствии с прин­ципом суперпозиции индукция резуль­тирующего магнитного поля в точке А равна: , (1)

где и — индукции полей, создавае­мых соответственно токами I1и I2, на­правленными за плоскость рисунка; — индукция поля, создаваемая коль­цевым током. Как видно из рис. 7, век­торы и в точке А направлены по Рисунок 7

одной пря­мой в противоположные стороны, поэтому их сумма

равна по модулю . (2)

Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током,

, (3)

где μ0 — магнитная постоянная; μ — магнитная проница­емость среды (для воздуха μ = 1); r1, r2 — расстояния от проводников до точки А. Подставляя (3) в (2), получаем: . (4)

Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током,

, (5)

где r3 — радиус кольца.

Как видно из рис. 7, векторы и взаимно перпенди­кулярны, поэтому или, с учетом выражений (4) и (5),

; (6)

.

Напряженность магнитного поля

.

 

2. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками, в случа­ях, когда: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направ­лении (рис. 8 а); проводники взаимно перпендикулярны, направления то­ков показаны на рис. 8 б.

Дано: d = 0,1 м; I1 = I2 = I = 5 А.

Найти: B||, B^.

Решение. Результирующая индукция магнитного поля в данной точке равна векторной сумме индукций полей, созда­ваемых каждым током в отдельности: , (1)

где и — индукции полей, создаваемых соответственно токами I1 и I2. Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем направления и . Как видно из рис. 8 а, и направлены в противоположные стороны, поэтому вектор­ная сумма (1) в данном случае может быть заменена алгебраи­ческой:

. (2)

Индукции полей, создаваемых бесконечно длинными про­водниками, находим по формуле , (3)

Рисунок 8

где r1 и r2— соответственно расстояния от проводников до точ­ки, в которой определяется индукция магнитного поля.

Со­гласно условию задачи, r1 = r2= r = . Тогда: .

В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 8 б), результирующая индукция в точке, лежащей посередине меж­ду проводниками, равна:

. (4)

Подставляя числовые значения, получаем:

.

3. По квадратной рамке со стороной 0,2 м течет ток 4 А. Опреде­лить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Дано: I = 4 А; а = 0,2 м.

Найти: H, B.

Решение. Магнитное поле в центре рамки (рис. 9) создает­ся каждой из его сторон и направлено в одну сторону по нормали к плоскости рамки. Следовательно, , где H1 — напряженность поля, создаваемого отрезком про­водника с током I длиной а, которая определяется по фор­муле:

,

где — расстояние от проводника до точки поля. По условию данной задачи, α1 = 45°; α2 = 135°.Тогда ;

Рисунок 9 .

Индукция поля В и напряженность H связаны соотношением : .

 

4. Виток радиусом 5 см помещён в однородное магнитное поле напряжённостью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Сила тока в витке 1 А. Какую работу совер­шат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Дано: r = 0,05 м; I = 1 А; Н = 5000 А/м; α = 60°.

Найти: А.

Решение. Работа А при повороте витка с током I в магнит­ном поле равна:

(1)

Здесь — изменение магнитного потока сквозь площадь витка — магнитный поток, про­низывающий виток в начальном положении, где α — угол между векторами и .

Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т. е.

cos α = 1. Следовательно,

Таким образом, Учитывая, что , имеем:

(2)

Подставляя (2) в (1), получаем: (3)

5. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям ин­дукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории электрона r = 2 см. Опре­делить удельный заряд электрона.

Дано: U = 3,52 · 103 В; В = 0,01 Тл; r = 2 см = 2∙10-2 м.

Найти: е/т.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величи­на, равная отношению заряда к массе, т. е. е/т.

В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью υ перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца: (1)

Под действием этой силы заряд перемещается по дуге ок­ружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центро­стремительное ускорение, то, согласно второму закону Ньютона, можно записать: (2)

Кинетическую энергию, равную , электрон приобретает за счет работы А сил электрического поля (А = eU),поэтому имеем:

(3)

Преобразуя последние два соотношения и исключив из них скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона:

(4)

Подставив исходные данные, находим:

6. Виток радиусом 2 см, сила тока в котором 10 А, свободно уста­новился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° во­круг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при поворо­те витка сила тока в нём поддерживается неизменной.

Дано: I = 10 А; В = 1,5 Тл; r = 0,02 м; a = 90°.

Найти: А.

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное по­ле, действует вращающий момент: (1)

где рт = IS = Ipr2 — магнитный момент витка; В — индукция магнитного поля, a — угол между векторами рт и В.

В начальном положении, согласно условию задачи, виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, векто­ры рт и В совпадают по направлению, т. е. a = 0, М = 0.

При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в ис­ходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является пере­менным и зависит от угла поворота a:

(2)

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совер­шаемую при повороте витка на конечный угол:

(3)

Подставляя числовые значения, находим:

А = 10 · 3,14 - 4 10-4 · 1,5 = 18,84 · 10-3 (Дж) ≈0,02 (Дж).

 

7.Проводник, сила тока в котором 1 А, длиной 0,3 м равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его конец, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля напряжен­ностью 1 кА/м. За 1 мин. вращения совершается работа 0,1 Дж. Определить угловую скорость вращения проводника.

Дано: I = 1 А; l = 0,3 м; Н = 103 А/м; t = 60 с; А = 0,1 Дж.

Найти: ω.

Решение. Работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении проводника с током I, равна: (1)

где — изменение магнитного потока, т. е. магнитный поток, пересекаемый проводником при его вращении.

- площадь, которую пересечёт проводник при вращении с угловой скоростью ω за время t, l -длина провод­ника, В - индукция магнитного поля, Н- напряженность магнитного поля.

(2)

Отсюда:

 

8. Протон движется в магнитном поле напряженностью 105 А/м по окружности радиусом 2 см. Найти кинетическую энергию прото­на.

Дано: H = 105 А/м; r = 0,02 м.

Найти: Е.

Решение. Кинетическая энергия определяется по формуле:

(1)

На протон, движущийся в магнитном поле с индукцией со скоростью υ, действует сила Лоренца: которая численно равна центростремительной силе . (2)

Из равенства Fл = Fцвыразим υ и подставим в формулу для кинетической энергии :

9. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01 Тл. Определить радиус траек­тории электрона.

Дано: U = 88 ·103 В; В = 0,01 Тл; е = 1,6 · 10-19 Кл.

Найти: r.

Решение. В магнитном поле с индукцией В на электрон, движущийся со скоростью υ перпендикулярно В, действует си­ла Лоренца:

(1)

которая обусловливает центростремительное ускорение элект­рона при его движении по окружности: (2)

Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон приобретает кинетическую энергию , равную работе А сил электрического поля:

Отсюда находим скорость электрона: (3)

Из уравнения (2) с учетом (3) найдем радиус траектории:

 

10. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке солено­ида течет ток 0,1 А. Зависимость В = f(H) для материала сердечника дана на рис. 10. Определить напряженность и индукцию поля в соле­ноиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соле­ноида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.

Дано: l = 0,2 м; D = 0,04 м; k = 3; d = 10-4 м; I = 0,1 А.

Найти: Н, В, μ, L, W, ω.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однород­ным. В этом случае напряженность поля равна: где I — сила тока в обмотке, — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида,

k — число слоев обмотки, d — диаметр провода. Тогда

По графику B = f(H) (рис. 10) нахо­дим, что напряженности 3000 А/м со­ответствует индукция 1,7 Тл. Исполь­зуя связь между индукцией и напря­женностью, определим магнитную проницаемость:

Индуктивность соленоида:

Рисунок 10 где l — длина соленоида,

— площадь поперечного сечения соленоида.

С учетом того, что , получаем:

Объёмная плотность энергии магнитного поля:

Энергия магнитного поля соленоида: или

Подставляя числовые данные, получаем:

11. Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 10 А за 1 мин., при этом соленоид накапливает энергию 20 Дж. Какая ЭДС индуцируется в соленоиде?

Дано: I0 = 0; I1 = 10 А; t = 60 с; W = 20 Дж.

Найти: ε.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида индуктив­ностью L, по которому течет ток I, равна: (1)

откуда: (2)

ЭДС самоиндукции, возникающая в соленоиде при изменении тока в его обмотке на за время Δt, будет: (3)

12. Однослойный соленоид без сердечника длиной 20 см и диа­метром

4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За время 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5 А до 0. Опре­делить ЭДС самоиндукции в соленоиде.

Дано: l = 0,2 м; D = 0,04 м; d = 10-4 м; t = 0,1 с; I0 = 5 А; I1 = 0.

Найти: εsi.

Решение. ЭДС самоиндукции, возникающая при измене­нии тока ΔI в соленоиде за время Δt,

Индуктивность соленоида равна:

где μ0 — магнитная постоянная;

п — число витков на единице длины соленоида

(при плотной намотке n = l/d); l — длина соленоида;

— площадь поперечного сечения соленоида;

D — диаметр соленоида, μ = 1.

13. Обмотка соленоида имеет сопротивление 10 Ом. Какова его ин­дуктивность, если при прохождении тока за 0,05 с в нем выделяется количество теплоты, эквивалентное энергии магнитного поля соле­ноида?

Дано: R = 10 Ом; t = 0,05 с; W = Q.

Найти: L.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида равна: (1)

количество теплоты Q определяется по закону Джоуля - Лен­ца: (2)

По закону сохранения энергии (3)

Откуда индуктивность равна

 

14. В плоскости, перпендикулярной магнитному полю напряжен­ностью

2 ∙ 105 А/м, вращается стержень длиной 0,4 м относительно оси, проходящей через его середину. В стержне индуцируется ЭДС 0,2 В. Определить угловую скорость стержня.

Дано: Н = 2 · 105 А/м; l = 0,4 м; εi = 0,2 В; μ = 1.

Найти: ω.

Решение. ЭДС индукции равна скорости изменения маг­нитного потока Φ, пересекаемого стержнем при вращении:

где — индукция магнитного поля;

dS — площадь, пересекаемая стержнем при вращении с угловой скоростью ω.

Половина стержня, имея радиус , при повороте на угол dφ пересечёт площадь , а весь стержень пересечёт площадь .

Тогда

Откуда

 

15. Соленоид с сердечником (μ = 1000) длиной 15 см и диаметром 4 см имеет 100 витков на 1 см длины и включен в цепь источника тока. За 1 мс сила тока в нём изменилась на 10 мА. Определить ЭДС самоиндукции, считая, что ток в цепи изменяется равномерно.

Дано: l = 0,15м; D = 0,04м; п = 104 м-1; μ = 1000; ΔI = 10-2 A;

Δt = 10-3 с.

Найти: εsi.

Решение. ЭДС самоиндукции равна:

Индуктивность соленоида вычисляется по формуле:

 

16. На концах крыльев самолета с размахом 20 м, летящего со скоростью 900 км/ч, возникает ЭДС индукции 0,06 В. Определить вертикальную составляющую напряженности магнитного поля Зем­ли.

Дано: l = 20 м; υ = 250 м/с; εi = 0,06 В.

Найти:H.

Решение. Летящий самолет пересекает магнитное поле Земли, напряженность которого Н связана с индукцией В со­отношением . ЭДС индукции, возникающая при этом, равна скорости изменения магнитного потока Ф, пересекаемого крыльями самолета, Ф = BS.

За время dt самолет пересечет площадь .

Следовательно,

откуда

 

17. Два конденсатора с ёмкостями 0,2 мкФ и 0,1 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Найти ток в цепи и падение напряжения на первом и втором конденсаторах.

Дано: С1 = 0,2 мкФ = 2∙10-7 Ф; С2 = 0,1 мкФ = 1∙10-7 Ф; U = 220 В; = 50 Гц.

Найти: U1; U2 .

Решение: Ёмкостное сопротивление конденсатора выражается формулой:

, (1)

где (2) – циклическая частота колебаний. Подставим формулу (2) в (1), найдём сопротивления конденсаторов:

.

Так как конденсаторы соединены последовательно, то их общее сопротивление определяется выражением:

; . (3)

По закону Ома, для переменного тока , (4)

Подставим (3) в (4), находим ток в цепи:

; .

Падение потенциала на первом и втором конденсаторе будет соответственно равен: ; .

; Подставим численные значения: В и

; Подставим численные значения: В

18.В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно конденсатор ёмкостью 35,4 мкФ, сопротивление 100 Ом и катушка индуктивностью 0,7 Гн. Найти ток в цепи.

Дано: С = 35,4 ∙10-6 Ф; U = 220 В; = 50 Гц; R = 100 Ом; L = 0,7 Гн.

Найти: I

Решение: По закону Ома для переменного тока, сила тока определяется выражением: (1), где (2) – полное сопротивление цепи; Подставим формулу (2) в (1) получим:

. Подставим численные значения:

А.

19. Индуктивность катушки 22,6 мГн и омическое сопротивление R включены параллельно в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Найти сопротивление, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током 600.

Дано: L = 22,6 мГн = 22,6 ∙ 10-3 Гн; = 50 Гц; = 600 .

Найти: R

Решение: Если индуктивность и сопротивление включены параллельно в цепь переменного тока, то сдвиг фаз между напряжением и током определяется по формуле: (1) , где (2) – циклическая частота колебаний. Подставим формулу (2) в (1), получим: , откуда выразим сопротивление: . Подставим числовые значения:

Ом.

20. Напряженность электрического поля в зазоре между обкладками конденсатора площадью 1 см2, заполненного диэлектриком с ε = 1000, изменяется равномерно со скоростью 0,17 МВ/(м · с). Опре­делить силу тока смещения в таком электрическом поле.

Дано: S = 1см2; ε = 103.

Найти: Iсм.

Решение. По теории Максвелла, плотность тока смещения jсм равна скорости изменения электрического смещения D: . Учитывая, что , где ε — диэлектрическая проницаемость среды, ε 0 — электрическая постоянная, Е — напряженность электрического поля, можно записать: По определению, плотность тока смещения в случае посто­янного тока равна: где S — площадь пластины конденсатора.

С учетом этого можно записать: откуда

Подставляя числовые данные, получим:

21. При разрядке плоского конденсатора, площадь обкладок кото­рого равна 10 см2, заполненного диэлектриком с ε = 103, в подводя­щих проводах течет ток 1 мкА. Определить скорость изменения напряженности электрического поля в конденсаторе.

Дано: I = 10-6 A; S = 10-3 м2; ε = 103.

Найти: .

Решение. Сила тока проводимости в подводящих проводах равна силе тока смещения в электрическом поле конденсатора

Плотность тока смещения jсм, по определению, равна

С другой стороны, по Максвеллу, где D — электрическое смещение, связанное с напряженно­стью поля Е соотношением . С учетом этого запишем:

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

Подставим числовые данные:

22. При разрядке длинного цилиндрического конденсатора дли­ной 5 см и внешним радиусом 0,5 см в подводящих проводах течет ток проводимости силой 0,1 мкА. Определить плотность тока смеще­ния в диэлектрике между обкладками конденсатора.

Дано: l = 5 см = 5∙10-2 м; r = 0,5 см = 5∙10-3 м; Iпр = 0,1 мкА.

Найти: jсм.

Решение. Считаем заряд конденсатора равным Q. По теоре­ме Остроградского – Гаусса, для вектора электрического сме­щения поток вектора сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r равен заряду Q, охватываемому поверх­ностью интегрирования S:

По условию задачи, поток вектора пронизывает боковую цилиндрическую поверхность нормально к ней, так как D = Dn .

Плотность тока смещения jсм равна

Подставим численные значения







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 2498. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.06 сек.) русская версия | украинская версия