Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решить задачу, используя теоремы Муавра – Лапласа.




1 Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

2 Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

3 Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

4 Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся отличного качества.

5 Фабрика выпускает в среднем 70% изделий первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

6 При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Определить вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

7 Штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% брака. Пользуясь теоремой Лапласа, определить вероятность наличия от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту, в партии из 600 клемм.

8 Вероятность рождения мальчика 0,515 . Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек?

9 Процент отсева среди студентов первокурсников составляет 10%. Найти вероятность того, что из 900 будет отчислено от 80 до 110 студентов (включительно).

10 Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 не более 120 потребуют такую обувь.

11 Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами и . Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.

12 Вероятность того, что деталь не проверялась ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется от 70 до 100 деталей, не проверенных ОТК.

13 По статистическим данным, в 20% случаев коммерческому банку удается привлечь имеющихся у населения сбережения. Найти вероятность того, что среди населения данного округа численностью 1500 человек доля граждан, желающих вложить свои сбережения в коммерческий банк, отклонится от указанной вероятности не более чем на 0,03 (по абсолютной величине).

14 Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из которых равна 0,8. Оценить вероятность того, что приживутся от 100 до 440 кустарников (включительно).
15 Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну отполированных и не отполированных.

5. Дана случайная величина. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х (для первых пяти заданий),

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения ,

г) построить график ,

д) найти М(Х), D(X), (X), если:

 

1 Х – число выпадений герба при четырёх подбрасываниях монетки

 

2 Х – количество попаданий в мишень при трёх выстрелах, вероятность каждого попадания 0,7

3 Х – количество попаданий в мишень при трёх выстрелах, вероятность первого попадания 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,4

4 Х – число выпадений пяти очков при трёх подбрасываниях игральной кости

 

5 Х – число дождливых дней в неделю, если количество дождливых дней в году 170.

xi 0,5 1,0 1,7 2,0 2,4 2,8
pi 0,1 0,15 0,2 0,22 0,18 0,15
xi 1,5 3,2 5,1 7,4 8,9 10,5
pi 0,05 0,09 0,15 0,21 0,29 0,21

 

xi
pi   0,03 0,06 0,11 0,17 0,23 0,22 0,18

 

xi
pi 0,02 0,08 0,14 0,17 0,19 0,16 0,13 0,11

 

xi 10,1 10,8 11,6 12,5 13,6 14,8
pi 0,12 0,15 0,19 0,23 0,17 0,14

 

xi 10,1 10,3 10,5 10,6 10,8
pi 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
xi 0,5 1,5 2,6 3,8 4,3
pi 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

 

xi -4,7 -4,5 -4,2 -3,9 -3,4
pi 0,11 0,13 0,22 0,24 0,3

 

xi
pi 0,15 0,20 0,25 0,20 0,15 0,05

 

xi
pi 0,12 0,13 0,18 0,20 0,15 0,17 0,05

Тема №2 «Проверка статистических гипотез»

Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей и получены малые независимые выборки, объемы которых

и ,

где [ ] означают целую часть числа, заключенного в эти скобки, - порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Значения вариант и рассчитываются по формулам:

, и , ,

где – номер студенческой группы.

Требуется по данным выборкам при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе .

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

Решение. Определим объемы выборок:

= = =[2,5]+8=2+8=10

= = =[3]+7=3+7=10.

Далее найдем значения вариант обеих выборок:

x1=1+5,5=6,5; x2=7,5; x3=8,5; x4=9,5; x5=10,5; x6=11,5; x7=12,5; x8=13,5; x9=14,5; x10=15,5;

y1= =2; y2=3; y3=4; y4=5; y5=6; y6=7; y7=8; y8=9; y9=10; y10=11.

Вычислим средние и исправленные дисперсии:

=11;

= ·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)= · 41,25= · 13,756≈9,167,

=6,5;

= ·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)=9,167.

Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий , при конкурирующей .

, , так как , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Можно переходить к сравнению математических ожиданий.

, (0,05,18)=2,10, так как то гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается.

 

 

Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»

По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.

Здесь - номер студенческой группы, - номер фамилии студента в журнале.

 

11,70 12,90 10,32 9,50 5,91 11,56 10,81 9,32 13,00 12,90
7,35 11,80 17,00+ /10 14,10 9,74 9,76 6,96 15,05 14,67 9,73+N/10
11,35 10,51 15,95 12,41 13,56 6,68 13,75 16,95 8,81 10,60+N/10
13,90 9,03 7,39 13,85 11,99 6,23 12,56 12,03 12,97 15,95
11,00 7,76 10,48 12,80 12,05 12,33 5,60- /10 8,80 9,85 10,11+ /10
9,75 13,70 12,09 13,40 9,02 6,67 12,37 11,67 12,00 13,60
15,21 9,70 13,70 16,10 13,60 14,40 14,75 8,06 13,01 10,70+N/10
13,57 15,30 12,30 15,85 17,60 11,25 12,75 11,50 12,27 11,50
9,21 10,79 11,11 12,31 16,80 16,20 10,36 6,86 12,90 8,64+(N+ )/10
14,90 16,00 12,00 12,31 9,35 16,60 15,67 15,33 8,69+ /10 12,07

 

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =0.

Решение.

11,70 12,90 10,32 9,50 5,91 11,56 10,81 9,32 13,00 12,90
7,35 11,80 17,00 14,10 9,74 9,76 6,96 15,05 14,67 9,73
11,35 10,51 15,95 12,41 13,56 6,68 13,75 16,95 8,81 10,60
13,90 9,03 7,39 13,85 11,99 6,23 12,56 12,03 12,97 15,95
11,00 7,76 10,48 12,80 12,05 12,33 5,60 8,80 9,85 10,11
9,75 13,70 12,09 13,40 9,02 6,67 12,37 11,67 12,00 13,60
15,21 9,70 13,70 16,10 13,60 14,40 14,75 8,06 13,01 10,70
13,57 15,30 12,30 15,85 17,60 11,25 12,75 11,50 12,27 11,50
9,21 10,79 11,11 12,31 16,80 16,20 10,36 6,86 12,90 8,64
14,90 16,00 12,00 12,31 9,35 16,60 15,67 15,33 8,69 12,07

Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.

5,60 8,06 9,50 10,48 11,50 12,05 12,56 13,56 14,40 15,95
5,91 8,64 9,70 10,51 11,50 12,07 12,75 13,57 14,67 15,95
6,23 8,69 9,73 10,60 11,56 12,09 12,80 13,60 14,75 16,00
6,67 8,80 9,74 10,70 11,67 12,27 12,90 13,60 14,90 16,10
6,68 8,81 9,75 10,79 11,70 12,30 12,90 13,70 15,05 16,20
6,86 9,02 9,76 10,81 11,80 12,31 12,90 13,70 15,21 16,60
6,96 9,03 9,85 11,00 11,99 12,31 12,97 13,75 15,30 16,80
7,35 9,21 10,11 11,11 12,00 12,33 13,00 13,85 15,33 16,95
7,39 9,32 10,32 11,25 12,00 12,37 13,01 13,90 15,67 17,00
7,76 9,35 10,36 11,35 12,03 12,41 13,40 14,10 15,85 17,60

1) находим размах выборки:

,

2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:

,

3) находим величину классового интервала:

,

4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:

,

,

и так далее,

,

и так далее.

5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:

 

Границы интервалов Середина интервала Эмпирическая частота
4,815 6,385 5,600
6,385 7,956 7,171
7,956 9,527 8,741
9,527 11,097 10,312
11,097 12,668 11,883
12,668 14,239 13,453
14,239 15,809 15,024
15,809 17,380 16,595
17,380 18,951 18,165

 

Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:

, .

Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:

Границы интервалов         Границы интервалов             - -    
   
4,815 6,385 - -5,497 -1,921 -0,5 -0,4726 0,0274 2,74
6,385 7,956 -5,497 -3,927 -1,921 -1,372 -0,4726 -0,4147 0,0579 5,79
7,956 9,527 -3,927 -2,356 -1,372 -0,823 -0,4147 -0,2939 0,1208 12,08
9,527 11,097 -2,356 -0,785 -0,823 -0,274 -0,2939 -0,1064 0,1875 18,75
11,097 12,668 -0,785 0,785 -0,274 0,274 -0,1064 0,1064 0,2128 21,28
12,668 14,239 0,785 2,356 0,274 0,823 0,1064 0,2939 0,1875 18,75
14,239 15,809 2,356 3,923 0,823 1,372 0,2939 0,4147 0,1208 12,08
15,809 17,380 3,923 5,497 1,372 1,921 0,4147 0,4726 0,0579 5,79
17,380 18,951 5,497 - 1,921 0,4726 0,5 0,0274 2,74

Найдём наблюдаемые значения и .

 

             
2,74 0,03 0,0274 0,03 0,0274 0,0026 0,0247
5,79 0,07 0,0579 0,10 0,0853 0,0147 0,2529
12,08 0,11 0,1208 0,21 0,2061 0,0039 0,0966
18,75 0,16 0,1875 0,37 0,3936 0,0236 0,4033
21,28 0,24 0,2128 0,61 0,6064 0,0036 0,3477
18,75 0,19 0,1875 0,80 0,7939 0,0061 0,0033
12,08 0,09 0,1208 0,89 0,9147 0,0247 0,7853
5,79 0,10 0,0579 0,99 0,9726 0,0174 3,0612
2,74 0,01 0,0274 1,00 1,00 1,1050
  = =0,0247 =0,247 = =6,080

 

Критические значения находим в соответствующих таблицах:

= , так как 6,08< , то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично

, так как < , то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.

Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.

 

-6,283 118,428 -744,083 4675,073
-4,712 155,421 -732,344 3450,805
-3,142 108,59 -341,19 1072,019
-1,571 39,489 -62,037 97,46
1,57 46,833 73,528 115,439
3,141 88,793 278,899 876,022
4,172 222,029 1046,201 4929,699
6,282 39,476 247,988 1557,861
  8,19   -2,33   167,744

 

       
11,883 8,274 2,876 -0,0979 -0,548 12,064 11,948

 

Найдём доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .

Рис.:
, где ,

,

Найдём доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .

, где , ,

,

,

.

Тема №4 «Корреляционно-регрессионный анализ»

Найти выборочный коэффициент корреляции и составить выборочные уравнения прямых линий регрессии на и на по данным корреляционной таблицы:

                   
                   
                 
             
                   
               
                 
                 
               
                   
                     

Значения , , и найти по формулам:

, ,

, ,

= ,

= ,

где – номер студенческой группы, – порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

По формулам вычисляем недостающие элементы.

 

                   
                   
                 
             
                   
               
                 
                 
               
                   
                     

 

Вычислим выборочные средние, средние квадратов, среднее произведения и и среднеквадратические отклонения:

,

= ,

,

,

,

,

.

Тогда ,

,

.

Выборочное уравнение линейной регрессии на . В нашем случае .

Выборочное уравнение линейной регрессии на . В нашем случае .







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 716. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.017 сек.) русская версия | украинская версия