Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Зведення матриці до діагонального вигляду.




Теорема 21.Кожна квадратна матриця го порядку над полем , яка має у полі різних характеристичних коренів, подібна до деякої діагональної матриці, тобто зводиться до діагонального вигляду.

Методичні рекомендації до розв‘язування задач

Приклад 1. матриця оператора в базисі ; матриця оператора в базисі . Знайти матрицю оператора в базисі .

Розв’язання. Позначимо матрицю оператора : , тоді в базисі : , де - матриця оператора в базисі . За формулою , де - матриця переходу від базису до базису . Обчислимо .

,

, , .

, , .

Тоді

.

.

Обчислимо

.

Отже,

.

Відповідь: .

Приклад 2. Лінійний оператор в базисі , де , має матрицю . Лінійний оператор в базисі , де , має матрицю . Знайти в базисі , де , .

Розв’язання. Для того, щоб знайти матрицю в базисі , необхідно обчислити матриці лінійних операторів і в базисі .

Обчислимо матриці цих операторів в базисі за формулами , , де - матриця переходу від базису до . - матриця переходу від базису до .

, , . .

.

, , . .

Обчислимо і .

, .

Отже,

.

.

.

Відповідь: .

Приклад 3. Нехай і та – лінійні оператори простору . , . Знайти: а) , б) , в) .

Розв’язання. При розв’язуванні задачі скористаємося означенням суми та добутку лінійних операторів:

;

.

а) ,

,

Матриця цього перетворення має вигляд:

.

Другий спосіб. Знайдемо матриці перетворення лінійних операторів і .

, .

Виконаємо перетворення:

Відповідь: .

.

б)

.

;

.

Другий спосіб.

Розглянемо , де . Подіємо лінійними операторами та на вектори базису

, ,

, ,

; .

і .

Тоді

.

За означенням, матриця добутку лінійних операторів дорівнює добутку матриць лінійних операторів.

.

.

Відповідь: ;

.

в) .

Матриця цього перетворення має вигляд:

Другий спосіб.

.

.

Відповідь: ,

.

Приклад 4. Нехай і та – лінійні оператори простору . , .. Знайти в тому ж базисі.

Розв’язання. I.За означеннями дій над лінійними операторами, знаходимо:

,

.{оператор діє на вектор }.

.

Знайдемо матрицю, яка відповідає результату дій над даними лінійними операторами:

.

II.Знайдемо матриці операторів і :

, .

За правилами множення матриць, додавання матриць і множення матриці на число, обчислюємо:

.

Знайдемо координатний рядок образа вектора , якщо діє оператор .

.

.

Відповідь:

, .

Приклад 5. Нехай лінійний оператор векторного простору над полем дійсних чисел у деякому базисі цього простору задано матрицею: а) , б) ,

в) . Знайти ранг і дефект лінійного оператора . Побудувати ядро і область значень оператора .

Розв’язання.

а) Оскільки ранг лінійного оператора простору дорівнює рангу матриці цього оператора в базисі , то знаходимо спочатку :

~ IIp+5·IIIp ~ .

Звідси і тому .

Внаслідок того, що сума рангу і дефекту довільного лінійного оператора векторного простору дорівнює розмірності цього простору, то , .

Для побудови ядра і області значень оператора досить визначити їх базиси.

Оскільки область значень оператора складається з образів усіх векторів простору , тобто з усіх векторів виду , де , то підпростір породжується системою векторів , , . (а)

Отже, за базис підпростору можна взяти довільну максимальну лінійно незалежну підсистему векторів системи (а).

Оскільки

то такі підсистеми визначаються максимальними лінійно незалежними підсистемами рядків матриці . Із знаходження рангу матриці видно, що однією з максимальних лінійно незалежних підсистем рядків цієї матриці є підсистема, яка складається з першого та третього рядків матриці. Тоді за базис підпростору можна взяти вектори , .

Побудуємо ядро лінійного оператора . Оскільки вектор належить до ядра оператора тоді і тільки тоді, коли , тобто коли , де і - координатні рядки векторів і в базисі , то є множина всіх тих векторів простору , координатні рядки яких у базисі , розглядувані як числові вектори, утворюють простір розв’язків такої системи лінійних однорідних рівнянь , або в розгорнутому вигляді

(б)

Оскільки матриця останньої системи є матрицею, транспонованою до матриці , то, використовуючи процес знаходження рангу матриці , можна стверджувати, що ранг цієї системи дорівнює числу 2 і що за вільне невідоме можна взяти . Тоді , - загальний розв’язок системи (б), а = – фундаментальна система розв’язків системи (б), яка є базисом простору .

Зауваження. Надалі, розв’язуючи такі задачі, ми спрощуватимемо процес розв’язання, а саме:

1.Знайдемо ранг матриці . Це буде розмірність області значень заданого оператора . Тоді розмірність ядра оператора знайдемо з рівності , де розмірність усього простору.

2.Визначимо базис простору . Тут – номери тих рядків матриці , які складають максимальну лінійно незалежну систему рядків цієї матриці (зрозуміло, що числа визначаються неоднозначно).

3.Знайдемо фундаментальну систему розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь, матрицею якої є матриця, транспонована до матриці . Базис простору і буде ( також, очевидно, визначається однозначно).

б) =?

, .

Отже,

, де .

базис складається із двох векторів.

Загальний розв’язок останньої системи: . Фундаментальна система розв’язків останньої системи складається із векторів .

Отже, базис складається із векторів і . .

в) , .

Отже, , де , , . базис складається з .

Приклад 6. Лінійний оператор в базисі має матрицю , а лінійний оператор в базисі має матрицю . Знайти матриці лінійних операторів та в базисі, в якому задано координати всіх векторів.

Розв’язання. Введемо позначення , для заданих базисів і для базису, в якому задано координати векторів. Завдання полягає в тому, щоб знайти матриці, що відповідають добуткам лінійних операторів та .

Матрицю лінійного оператора в базисі позначимо , а оператора - .

Тоді

і .

За формулою обчислення матриці лінійного оператора в іншому базисі:

і , де і - матриці переходу від базисів і до базису відповідно.

Оскільки матриці і , рядки яких складено відповідно з координатних рядків векторів і , є матрицями переходу від базису до базисів і відповідно, то, враховуючи зв'язок між матрицями переходу від одного базису до іншого, дістанемо рівності

, ;

, .

Тоді

і .

Обчислимо послідовно:

, .

.

.

Обчислюємо шукані матриці:

.

.

Відповідь: , .

Приклад 7. В лінійному просторі заданий базис . Лінійний оператор переводить вектори з координатами , відповідно у вектори з координатами , . Знайти матрицю оператора в базисі .

Розв’язання. Через позначимо оператор, який переводить вектори у вектори . Його матрицею у базисі буде

.

Оператор переводить вектори у вектори . Отже, добуток операторів і переводить вектори у вектори . Тому в базисі оператор має матрицю

.

Матриця оператора дорівнює добутку матриць операторів і , тобто якщо - матриця оператора в базисі , то . Тоді маємо:

Відповідь: - матриця оператора в базисі .







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 1379. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия