Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула Коши-Адамара.




Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответственно, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(4)

Теорема 2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда и этот ряд сходится при , то он равномерно сходится на отрезке .

Пример 1. Найти область абсолютной и равномерной сходимости ряда .

Решение:

В этом случае для решения задачи удобно использовать радикальный признак Коши , тогда

или , раскрывая неравенство, получим или .

Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

а) : – знакочередующийся ряд, для которого не выполняется необходимый признак сходимости, т.е. ряд расходится;

б) : – ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак сходимости . Таким образом, для ряда область абсолютной сходимости: . Область равномерной сходимости

Пример 2. Найти радиус сходимости и область абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда этого можно применить признак Даламбера в предельной форме: , тогда радиус сходимости .

Радиус сходимости – половина интервала сходимости, поэтому интервал сходимости: .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

а) при : . Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, сходится (как гипергармонический ряд с ), следовательно, ряд

сходится абсолютно;

б) при получим ряд , ряд сходящийся. Значит, оба конца интервала сходимости и входят в область абсолютной и равномерной сходимости: .

Пример 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости ряда .

Решение. Для отыскания радиуса сходимости данного степенного ряда удобно воспользоваться радикальным признаком Коши в предельной форме:

,

тогда радиус сходимости .

Интервал сходимости: .

Исследуем поведение ряда в концевых точках интервала сходимости:

а) при : это знакочередующийся числовой ряд. Этот ряд расходится, т.к. для него не выполняется признак Лейбница:

;

б) при получим ряд . Этот ряд тоже расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости:
. Следовательно, в предельных точках интервала и данный ряд расходится, область сходимости этого ряда: .

Пример 4. Найти радиус и область абсолютной и равномерной сходимости ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости:

, , .

Центром ряда является точка , Интервал сходимости (рис.1).

Поведение ряда в концевых точках интервала сходимости: при : – знакочередующийся числовой ряд, сходится абсолютно; при : – сходится.

Итак, данный степенной ряд сходится абсолютно и равномерно для .

Пример 5. Найти область абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда .

Решение. Здесь , . Найдем радиус R сходимости ряда . Следовательно, область абсолютной сходимости ряда , область равномерной сходимости- любая ограниченная область.

Пример 6. Исследовать на сходимость степенной ряд .

Решение.Здесь и . Найдем радиус R сходимости ряда . Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки .

 

 







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 768. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия