Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Разложение функции алгебры логики по переменным. СДНФ, СКНФ. Полином Жегалкина.

1. Метод равносильных преобразований. Используется для функций, заданных формулой. Метод состоит в выполнении следующих действий.

1) В формуле все функции, кроме суммы Жегалкина и эквиваленции, выражаются через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Эквиваленция заменяется отрицанием операции : .

2) Дизъюнкция исключается с помощью закона Моргана: .

3) Отрицание исключается с помощью свойства суммы Жегалкина: .

4) Раскрываются скобки, приводятся подобные с помощью законов:

, , , .

Пример. = = = = = = .

2. Метод неопределенных коэффициентов. Используется для функций, заданных таблицей. Метод состоит в том, что сначала записывается полином Жегалкина для заданной функции в общем виде с неопределенными коэффициентами, затем эти коэффициенты определяются на основе таблицы значений функции от конъюнкции наименьшего ранга к конъюнкциям больших рангов.

Пример. Пусть функция задана таблицей 2.14. Запишем полином Жегалкина для f:

f ( , ) = (2.5)

Табл. 2.14
f( , )

f (0,0) = ·0 ·0 ·0 =1 (Значение f (0,0) = 1 выбирается из таблицы).

f(1,0) = ·0 ·1 ·0 =0 =0 1=0 =1.

Аналогично, f(0,1) = ·0 ·0 ·1 =0 =0 1=0 =1.

f(1,1) = ·1 ·1 ·1 =1 =1

1 1 1=1 =0.

Теперь можно записать выражение (2.5) с определенными коэффициентами: f ( , ) = 1.

Теорема.Любая функция алгебры логики представима в виде полинома Жегалкина единственным образом с точностью до порядка следования слагаемых.

Разложение функции алгебры логики по переменным. СДНФ, СКНФ. Полином Жегалкина.

 

Логической степенью переменной х называется выражение

Другими словами, логическая степень – выражение, которое обозначает переменную или ее отрицание.

Табл.2.11
x s xs

Из определения логической степени следует, что . Данное утверждение можно пояснить табл.2.11.

На основании этого можно определить следующее общее свойство логической степени: xs=1 тогда и только тогда, когда x=s (соответственно xs= x≠s).

Рассмотрим набор переменных {x1,..,xn}.

Конъюнкцией (дизъюнкцией) над множеством переменных {x1,..,xn} называетсялюбое выражение вида , в котором Î{x1,..,xn}, j= .

Рангом конъюнкции (дизъюнкции) над множеством переменных {x1,..,xn} называетсяколичество попарно различных переменных в конъюнкции (дизъюнкции).

Пример. Рассмотрим набор переменных {x1,x2,x3,x4}.

Тогда ( ) – конъюнкция (дизъюнкция) ранга 3.

Конъюнкция (дизъюнкция) над множеством переменных {x1,..,xn} называется элементарной, если все переменные в ней попарно различны.

Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) над множеством переменных {x1,..,xn}, называют совершенной , если она имеет ранг n.

Иными словами, совершенная конъюнкция (дизъюнкция) – это такая, в которой присутствуют все переменные из рассматриваемой совокупности, причем по 1 разу.

Пример.

– элементарная конъюнкция над множеством переменных {x1,x2,x3,x4}, но не совершенная; – совершенная конъюнкция над множеством переменных {x1,x2,x3,x4}.

Конъюнкцию (дизъюнкцию) над множеством переменных {x1,..,xm} можно обозначать K(D) или Ki(Di).

Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой называется формула вида K1ÚK2ÚÚKl или ( D1&D2&&Dl или ).

Пример.

–дизъюнктивная нормальная форма. – конъюнктивная нормальная форма.

Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется совершенной дизъюнктивной(конъюнктивной) нормальной формой или СДНФ(СКНФ),если каждая конъюнкция (дизъюнкция) в ней является совершенной.

Пример. Для набора переменных {x1,x2,x3} – совершенная дизъюнктивная нормальная форма, – совершенная конъюнктивная нормальная форма.

Теорема(о разложении функции алгебры логики по m переменным).

Каждую функцию алгебры логики f(x1,..,xn) для любого mn следующее можно представить в следующей форме :

(2.1)

Это представление называется разложением функции по m переменным x1,..,xn .

Доказательство. Подставим вместо переменных x1,..,xn любые конкретные значения a1,..,anÎE2. Тогда в левой части равенства (2.1) получим f(a1,..,an), в правой . Выражение равно нулю, если существует i (1im), при котором ai≠si (по свойству логической степени и свойству конъюнкции x 0=0).

Тогда рассматриваемое выражение можно преобразовать к виду

, так как

,а по свойству дизъюнкции . Мы видим ,таким образом, что левая и правая части выражения (2.1) совпадают при подстановке вместо переменных любых значений.

Тем самым равенство доказано.

Следствие ( разложение функции алгебры логики по всем переменным).

Для любой функции алгебры логики, не тождественно равной 0, справедливо разложение:

. (2.2)

Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции f(x1,..,xn).

Доказательство. В равенстве (2.1) положим m=n, получим :

.

Теорема позволяет функции с большим числом переменных выразить с помощью формул над функциями с меньшим числом переменных.

 

Пример.

Табл.2.12
x y f(x1,x2)

Рассмотрим функцию эквиваленции (табл.2.12). Найдем ее разложение по переменной x1 и по всем переменным.

Согласно (2.1), получим

– разложение по переменной x1.

По табл.2.12 функции f(x1,x2) определяем, что f принимает значение 1 на двух наборах (s1,s2) значений переменных – на наборах (0,0) и (1,1). Отсюда, согласно (2.2),

– СДНФ для .

Теорема.Для любой функции алгебры логики, не тождественно равной 1, справедливо следующее разложение:

. (2.3)

Это разложение назовем совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) функции f(x1,..,xn).

Доказательство. Докажем теорему, используя принцип двойственности.




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Методы получения полиномов Жегалкина. | 

Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 821. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия