Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла




Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости задана положительная непрерывная функция .

Определение: Часть пространства, ограниченная снизу замкнутой областью , сверху поверхностью , с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющий служит контур области , называется цилиндрическим телом.

Найдем объем данного цилиндрического тела.

Разобьем область на элементарных областей , площадь которых обозначим через , а диаметры

Рисунок 1 – Плоская область

 

В каждой области выберем произвольную точку , найдем значение функции в этой точке .

Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием , ограниченные сверху кусками поверхности .

Рисунок 2

 

В своей совокупности они составляют тело . Объем цилиндрического столбика приближенно равен , а объем цилиндрического тела:

. (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции в области .

Равенство (1) тем точнее, чем больше и чем меньше размеры элементарных областей . Если неограниченно возрастает, то за объем цилиндрического тела можно будет принять предел интегральной суммы:

Определение: Если существует , то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается , т.е. .

где - интегрируемая функция в области ,

- область интегрирования,

и - переменные интегрирования,

или - элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл?

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Если при любых , то - площадь области .

Рассмотрим задачу на нахождение массы плоской пластинки. Пусть требуется найти массу плоской пластинки , зная ее поверхностную плотность . Функция - непрерывна в каждой точке области .

Разобьем пластинку на элементарных частей с площадями . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим в ней плотность . Если в области достаточно малы, то плотность можно считать постоянной и равной , а массу данной области .

Тогда масса всей пластинки будет приближенно равна

.

Точное значение массы пластинки получим при условии, что :

или .

Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке . В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 1121. Нарушение авторских прав

codlug.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия